Умножение и деление на ноль

Ноль в математике занимает особое место среди чисел. С его помощью обозначается полное отсутствие количества, пустое место в записи многозначных чисел — иными словами, ноль выражает ничто, в то же время он играет весьма важную роль в вычислениях — и в этом заключается парадокс нуля.

Концепция нуля появилась еще в глубокой древности — в Месопотамии — вместе с позиционной системой. Ее появление было истинной революцией в математике — вместо изобретения новых символов для увеличивающего ряда чисел символы стали располагать в определенном порядке, где значение символа зависит от его положения. Если в одном из столбцов не было числа, на его месте ставился знак в виде горизонтального клина — в этом заключалось различие, например, между числами 35 и 305.

При всем своем удобстве концепция нуля далеко не сразу была признана — в частности, древнегреческая цивилизация долго сопротивлялась ей. Это было связано с господством геометрии в древнегреческой математике (концепция «ничто» не может иметь определенного пространственного положения). Зато в индийской культуре, где понятие небытия играло важную роль, концепция нуля была принята и развита — именно в Индии в IX веке для обозначения «ничто» начали использовать символ в виде пустого круга. От индийских мыслителей эту концепцию переняли арабские математики, а Европе ее представил итальянский математик Фибоначчи в XIII столетии — в «Книге абака». Окончательное утверждение нуля в европейской математике произошло относительно поздно — к концу XV века. Во многом это было связано с тем, что ноль долгое время считался удобным для мошенничества (например, долг можно увеличить путем приписывания нуля).

Умножая на 0 любое число (или наоборот) неизменно получают ноль в результате. Это правило объясняется, во-первых, переместительным законом умножения (результат его не изменяется в случае перестановки множителей), во-вторых, тем, что умножение представляет собой сложение одинаковых чисел. Например, 5×0 может быть представлено как 0×5, что подразумевает 0 + 0 + 0 + 0 + 0. Сумма пяти нулей (как и любого количества таковых) всегда дает ноль, следовательно, и результат умножения с его участием будет таким же.

Делить ноль можно на любое число (исключая сам ноль), и при этом тоже неизбежно получается ноль, ведь деление — действие, обратное умножению. Со свойствами умножения на ноль связан и тот факт, что при возведении нуля в любую положительную степень в результате получается ноль. Возведение любого числа в нулевую степень дает единицу.

Деление обратно умножению — иными словами, чтобы разделить число a на число b, следует подобрать такое число, при умножении которого на b получится a. Таким образом, чтобы разделить некое число, например, 5 — на ноль, придется найти такое, которое при умножении на 0 даст в результате 5. Это не представляется возможным, поскольку при умножении на 0 любых чисел неизменно получается 0 — следовательно, деление на ноль тоже невозможно.