Рациональные числа в математике
Рациональными именуются числа, для которых возможно представление в качестве соотношения двух чисел либо обыкновенной дроби, где числитель — это целое, при этом знаменатель — натуральное, иными словами отличен от нуля, не равен ему.
Множество рациональных чисел
Совокупность всех чисел, которые могут трактоваться в качестве рациональных, исходя из их свойств, называется множеством рациональных чисел. Для обозначения данного понятия в математике применяется латинский символ Q. Входят в него числа отрицательные наряду с положительными, ноль тоже представляет собой часть данного множества. Числа иррациональные, в частности дроби, непериодические бесконечные — в него не включаются.
Множество рациональных чисел характеризуется следующими свойствами:
- Замкнутость относительно вычитания, сложения: сумма либо разность любых двух, чисел, относящихся к рациональным, тоже принадлежит к таковым.
- Замкнутость относительно умножения, деления: произведение либо частное чисел рациональных обязательно относится к данному множеству.
- Плотность: между двумя любыми рациональными числами обязательно присутствует другое число, которое тоже относится к рациональным.
- Для каждого из рациональных чисел имеется обратное, которое при умножении на исходное дает единицу, они образуют поле.
Множество чисел натуральных, обозначаемое как N, представляет собой подмножеством множества рациональных чисел:
- Каждое натуральное число может быть представлено в форме дроби, количество способов бесконечно, например, число натуральное 0,25 возможно записать как 25/100 либо ½.
- Каждое из чисел натуральных относится к множеству целых чисел, которые тоже принадлежат к рациональным.
- Множество чисел рациональных обладает счетной мощностью — элементы, составляющие его, могут быть перенумерованы.
Свойства рациональных чисел
Для чисел, о которых идет речь, характерны определенные свойства:
- Переместительное свойство сложения подразумевает, что сумма остается неизменной в случае перестановки слагаемых . Например, .
- Сочетательное свойство сложения (или сочетательный закон сложения) заключается в следующем: чтобы прибавить сумму двух чисел к рациональному числу, необходимо прибавить оба числа, составляющие его, к исходному числу. Данное свойство выводится из правил арифметических действий, распространяющихся на целые числа (в частности, речь идет о правиле раскрытия скобок и заключения в них) – для чисел рациональных эти правила тоже актуальны, к примеру, .
- При сложении любого рационального числа с нулем оно остается неизменным, например, .
.
Какие действия можно совершать с рациональными числами
С рациональными числами выполняются арифметические действия, включая сложение, вычитание, умножение и деления:
- Сумма чисел положительных всегда является положительным числом , а сумма отрицательных — отрицательным: , модуль суммы при этом является суммой модулей слагаемых. При сложении положительного числа с отрицательным у суммы будет знак того из слагаемых, чей модуль больше, а для нахождения суммы вычитают меньший модуль из большего: .
- Вычитание одного рационального числа из другого заключается в прибавлении к исходному числу числа, противоположного вычитаемому: .
- При умножении рациональных чисел модуль произведения равняется произведению их модулей, при этом произведение чисел с одинаковыми знаками является положительным числом, а с разными — отрицательным: . Умножение любого рационального числа на 0 в результате дает 0.
- Деление рациональных чисел может интерпретироваться как умножение на обратное число. Как и в случае с умножением, при делении чисел с одинаковыми знаками получится положительное число, с разными — отрицательное, а модуль представляет собой результат деления модуля делимого на модуль делителя: , , . При делении нуля на любое число (как отрицательное, так и положительное) обязательно получится ноль. Важно! Делить на ноль нельзя.
Автор
- Евгения ПоздняковаУчитель математики и физики. Закончила Курганский государственный педагогический университет, опыт преподавания — более трёх лет.