Сложение и вычитание. Переместительное и сочетательное свойство
Арифметические действия лежат в основе математики и сопровождают нас ежедневно. Мы считаем сдачу в магазине, планируем бюджет или рассчитываем время до конца рабочего дня. Понимание базовых принципов позволяет выполнять вычисления быстрее и без ошибок.
Сложение и вычитание — это взаимно обратные операции, работающие по строгим алгоритмам. Знание их свойств помогает упрощать даже громоздкие примеры, превращая сложные расчеты в устный счет.
Что такое разность чисел
Разность показывает количественный разрыв между двумя значениями. В математической записи это результат, который получается при вычитании одного числа из другого. Это число демонстрирует, на сколько первое значение больше второго.
Нахождение разности необходимо для сравнения величин. Если из пяти яблок забрать два, оставшиеся три и будут той самой разностью. Операция применима как к целым, так и к дробным числам.
Свойства сложения
Сложение объединяет две или более величин в одну общую сумму. Математики выделили специальные правила, которые делают этот процесс гибким и удобным. Использование свойств помогает менять порядок действий без искажения финала.
Знание этих законов упрощает жизнь при работе с большими числами:
- можно менять числа местами для удобства счета;
- допустимо группировать слагаемые в удобные блоки;
- ноль при добавлении не меняет исходное число;
- порядок действий выбирает сам вычислитель.
Что такое свойство сложения
Свойство сложения — это математическая закономерность, применимая к любым числам. Это аксиома, которая не требует доказательств при каждом новом вычислении. Свойства служат инструментами для рационального счета.
Они позволяют трансформировать выражение. Вместо последовательного счета слева направо мы можем компоновать числа так, чтобы получать «круглые» результаты. Это база для развития навыков быстрого устного счета.
Что такое слагаемое
Слагаемое — это компонент действия сложения. Так называют каждое число, которое участвует в суммировании. В выражении может быть два, три и бесконечно много слагаемых.
Результатом их объединения становится сумма. Если одно из слагаемых равно нулю, сумма будет равна другому слагаемому. Все участники операции равноправны между собой.
Переместительное свойство сложения
Этот закон знаком многим со школы: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Формула выглядит просто:
a + b = b + a
Это фундаментальное правило арифметики.
Иногда удобнее к большему числу прибавить меньшее, даже если в примере они записаны наоборот. Переместительное свойство дает свободу в выборе последовательности действий.
Сочетательное свойство сложения
Сочетательный закон утверждает, что результат сложения не зависит от расстановки скобок. Чтобы прибавить к числу сумму двух других чисел, можно сначала сложить первое число со вторым, а потом прибавить третье.
Формула закона:
(a + b) + c = a + (b + c)
Это свойство позволяет группировать слагаемые любым удобным способом. Обычно ищут пары чисел, дающие в сумме 10, 100 или 1000.
Примеры сложения
Пример 1: Простая перестановка
Условие: 2 + 18 + 5 = ?
Решение: Складываем 2 и 18, получаем 20. Затем к 20 прибавляем 5.
Ответ: 25. Перестановка не потребовалась, но порядок действий очевиден.
Решение: Складываем 2 и 18, получаем 20. Затем к 20 прибавляем 5.
Ответ: 25. Перестановка не потребовалась, но порядок действий очевиден.
Пример 2: Удобная группировка
Условие: 47 + 24 + 53 = ?
Решение: Заметим, что 47 и 53 в сумме дают круглое число 100. Группируем их первыми (переместительное свойство). 100 + 24 = 124.
Ответ: 124.
Решение: Заметим, что 47 и 53 в сумме дают круглое число 100. Группируем их первыми (переместительное свойство). 100 + 24 = 124.
Ответ: 124.
Пример 3: Работа со скобками
Условие: (15 + 8) + 5 = ?
Решение: Раскроем скобки и применим сочетательное свойство. Удобнее сложить 15 и 5, получив 20. Затем добавляем 8.
Ответ: 28.
Решение: Раскроем скобки и применим сочетательное свойство. Удобнее сложить 15 и 5, получив 20. Затем добавляем 8.
Ответ: 28.
Пример 4: Сложение с нулем
Условие: 156 + 0 + 44 = ?
Решение: Ноль не меняет сумму. Складываем 156 и 44. Получаем 200.
Ответ: 200.
Решение: Ноль не меняет сумму. Складываем 156 и 44. Получаем 200.
Ответ: 200.
Пример 5: Несколько слагаемых
Условие: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = ?
Решение: Группируем пары: 1+9=10, 2+8=10, 3+7=10, 4+6=10. Остается 5. Четыре десятки плюс пять.
Ответ: 45.
Решение: Группируем пары: 1+9=10, 2+8=10, 3+7=10, 4+6=10. Остается 5. Четыре десятки плюс пять.
Ответ: 45.
Упражнения на сложение
Свойства вычитания
Вычитание — операция более строгая и капризная. Здесь нельзя просто так менять числа местами, иначе изменится смысл выражения и знак результата. Однако свои закономерности есть и здесь.
Основные особенности операции вычитания:
- вычитание суммы из числа;
- вычитание числа из суммы;
- вычитание нуля из числа;
- результат вычитания всегда проверяется сложением.
Что такое свойство вычитания
Свойство вычитания описывает правила взаимодействия компонентов при уменьшении количества. Эти алгоритмы подсказывают, как раскрывать скобки перед знаком минус или как вычитать числа по частям.
Например, чтобы вычесть из числа сумму, можно вычесть из него первое слагаемое, а затем из результата вычесть второе. Это значительно упрощает устные вычисления.
Что такое уменьшаемое и вычитаемое
В этой операции у каждого числа своя жесткая роль. Уменьшаемое — это число, из которого вычитают (оно стоит первым). Вычитаемое — это число, которое отнимают (стоит вторым).
Результат называется разностью. Если вычитаемое больше уменьшаемого, ответ будет отрицательным, но в начальной арифметике мы работаем с положительными числами и нулем.
Примеры вычитания
Пример 1: Вычитание суммы из числа
Условие: 50 — (10 + 20) = ?
Решение: Сначала находим сумму в скобках: 10 + 20 = 30.
Затем вычитаем 30 из 50.
Ответ: 20.
Решение: Сначала находим сумму в скобках: 10 + 20 = 30.
Затем вычитаем 30 из 50.
Ответ: 20.
Пример 2: Поочередное вычитание
Условие: 75 — (25 + 10) = ?
Решение: Удобнее вычесть слагаемые по очереди. 75 — 25 = 50.
Затем 50 — 10 = 40.
Ответ: 40.
Решение: Удобнее вычесть слагаемые по очереди. 75 — 25 = 50.
Затем 50 — 10 = 40.
Ответ: 40.
Пример 3: Вычитание числа из суммы
Условие: (45 + 18) — 5 = ?
Решение: Применим свойство вычитания числа из суммы. Легче вычесть 5 из 45. Получаем 40. К 40 прибавляем оставшиеся 18.
Ответ: 58.
Решение: Применим свойство вычитания числа из суммы. Легче вычесть 5 из 45. Получаем 40. К 40 прибавляем оставшиеся 18.
Ответ: 58.
Пример 4: Вычитание нуля
Условие: 89 — 0 = ?
Решение: Если вычитаемое равно нулю, разность равна уменьшаемому. Число не меняется.
Ответ: 89.
Решение: Если вычитаемое равно нулю, разность равна уменьшаемому. Число не меняется.
Ответ: 89.
Пример 5: Равные числа
Условие: 124 — 124 = ?
Решение: Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то разность всегда составляет ноль. Предметов не осталось.
Ответ: 0.
Решение: Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то разность всегда составляет ноль. Предметов не осталось.
Ответ: 0.
Освоение этих фундаментальных законов открывает двери к более сложной математике. Умение виртуозно жонглировать числами, переставлять их местами и разбивать на удобные части пригодится не только в школьной тетради, но и в повседневных расчетах. Регулярная практика и внимательность превращают сухие правила в надежный навык, который со временем начинает работать на автомате. Главное — помнить, что за каждой формулой стоит простая логика, призванная облегчить, а не усложнить вычисления.
Упражнения на вычитание
Автор
- Евгения ПоздняковаУчитель математики и физики. Закончила Курганский государственный педагогический университет, опыт преподавания — более трёх лет.