Действительные числа
Натуральных и дробных (рациональных) чисел стало недостаточно из-за существования несоизмеримых отрезков. Их длину нельзя выразить ни целым, ни дробным числом. В своё время этот момент стал ключевым в развитии математики.
Рациональные числа можно представить в виде бесконечных периодических десятичных дробей, но длины некоторых отрезков выражаются непериодическими дробями. Например, это длина диагонали квадрата со стороной 1 — она равна √2, то есть это иррациональное число. Для решения данной проблемы потребовалось расширение системы чисел — введение иррациональных чисел (бесконечных непериодических десятичных дробей).
В совокупности рациональные и иррациональные числа образуют действительные числа. Это все числа, которые находятся на числовой прямой. Они обозначаются буквой R.
Виды действительных чисел
Они образуют непрерывный числовой ряд без разрывов и включают в себя несколько важных подмножеств:
- натуральные числа (N). Их используют для счёта предметов: 1, 2, 3, 4 и так далее до бесконечности. Причём ноль (0) в натуральные числа, как правило, не включается;
- целые числа (Z). Это так называемое расширение множества натуральных чисел. То есть к натуральным добавляют их отрицательные значения и ноль. Например, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 и так далее;
- рациональные числа (Q). Их можно представить в виде дроби m/n, где *m* - целое число, а *n* - натуральное, причём последнее никогда не равно нулю. Это все целые числа, обыкновенные дроби, смешанные числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби;
- иррациональные числа (I). Главная особенность заключается в том, что их нельзя точно представить в виде дроби m/n. Десятичная запись таких чисел бесконечна и не периодична, то есть нет определённого шаблона у цифр, расположенных после запятой.
Свойства действительных чисел
К ним относятся:
- полнота. Если взять два действительных числа, то между ними непременно найдётся третье, тоже действительное;
- плотность. В любом интервале между числами (как рациональными, так и иррациональными) найдётся ещё множество чисел;
- однозначное место на числовой прямой. У каждого действительного числа есть своя точка.
Модуль числа
Так называется абсолютная величина числа. В математике обозначается вертикальными чертами — |a|.
С геометрической точки зрения модуль числа представляет собой расстояние от начала координат (то есть от 0) до точки, соответствующей этому числу на координатной прямой.
Алгебраическое определение модуля:
|x| = x, если x ≥ 0;
|x| = -x, если x < 0.
|x| = x, если x ≥ 0;
|x| = -x, если x < 0.
Свойства модуля:
- модуль любого числа неотрицателен, то есть больше или равен нулю;
- модуль положительного числа равен ему самому;
- модуль отрицательного числа равен противоположному (то есть положительному);
- модуль нуля равен нулю;
- модули противоположных чисел равны;
- модуль числа в квадрате равен квадрату этого числа;
- модуль суммы двух чисел либо равен сумме их модулей, либо меньше неё.
Действия над действительными числами
Над ними выполняют следующие операции — сложение, вычитание, умножение и деление. Перед каждым действием необходимо учитывать исходные знаки числа (положительные или отрицательные).
Сложение:
- чисел с одинаковыми знаками;
- чисел с разными знаками;
- с нулём.
- положительных чисел;
- отрицательных чисел;
- положительных чисел из отрицательных.
- чисел с разными знаками;
- дробных чисел с рациональными знаками.
- Бывают случаи, когда делимое и делитель являются иррациональными числами. При таком раскладе частное записывается как числовое выражение (по возможности оно упрощается). При необходимости вычисляется его приближённое значение.
Особенности сравнения иррациональных чисел
Сравнение — это процесс, во время которого можно узнать, какое число больше, меньше или равно другому.
Основные тонкости:
- обязательный учёт знаков. Если сравниваются иррациональные отрицательные числа, важно учитывать их расположение на числовой оси. То есть чем меньше отрицательное число по модулю, тем оно больше, и наоборот;
- плотность множества действительных чисел. Между любыми двумя числами есть ещё хотя бы одно число (одно рациональное и одно иррациональное, иногда — больше);
- необходимость доказательных преобразований. Для этого в математике часто используется метод гипотетического неравенства, а также так называемые эквивалентные преобразования.
Представление чисел в виде десятичных дробей
Это особый способ записи дробных чисел. Они записываются в позиционной десятичной системе счисления. Знаменатель здесь является степенью числа 10 (это и 10, и 100, и 1000, и далее). Запись в виде десятичной дроби существенно упрощает как сам вид чисел, так и их сравнение. Не говоря уже о более простом способе выполнения арифметических операций: десятичные дроби намного легче складывать, вычитать, умножать и делить, чем обычные.
Десятичная дробь записывается в виде целой части, которая отделена от дробной запятой. Сначала надо написать целую часть, затем поставить запятую, а после неё записать числитель дробной части.
Примеры:
- 4,6 — читается как «четыре целых шесть десятых»;
- 0,05 — читается как «ноль целых пять сотых»;
- 3,578 — читается как «три целых пятьсот семьдесят восемь тысячных»;
- 0,123 456 — читается как «ноль целых сто двадцать три тысячных четыреста пятьдесят шесть миллионных».
Автор
- Евгения ПоздняковаУчитель математики и физики. Закончила Курганский государственный педагогический университет, опыт преподавания — более трёх лет.