Действительные числа

21.06.2026 4 минуты

Натуральных и дробных (рациональных) чисел стало недостаточно из-за существования несоизмеримых отрезков. Их длину нельзя выразить ни целым, ни дробным числом. В своё время этот момент стал ключевым в развитии математики.

Рациональные числа можно представить в виде бесконечных периодических десятичных дробей, но длины некоторых отрезков выражаются непериодическими дробями. Например, это длина диагонали квадрата со стороной 1 — она равна √2, то есть это иррациональное число. Для решения данной проблемы потребовалось расширение системы чисел — введение иррациональных чисел (бесконечных непериодических десятичных дробей).

В совокупности рациональные и иррациональные числа образуют действительные числа. Это все числа, которые находятся на числовой прямой. Они обозначаются буквой R.

Помогаем понять математику и решать задачи самостоятельно

Онлайн-занятия для детей 6-17 лет

Записаться на первый урок

Виды действительных чисел

Они образуют непрерывный числовой ряд без разрывов и включают в себя несколько важных подмножеств:

натуральные числа (N). Их используют для счёта предметов: 1, 2, 3, 4 и так далее до бесконечности. Причём ноль (0) в натуральные числа, как правило, не включается;
целые числа (Z). Это так называемое расширение множества натуральных чисел. То есть к натуральным добавляют их отрицательные значения и ноль. Например, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 и так далее;
рациональные числа (Q). Их можно представить в виде дроби m/n, где *m* - целое число, а *n* - натуральное, причём последнее никогда не равно нулю. Это все целые числа, обыкновенные дроби, смешанные числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби;
иррациональные числа (I). Главная особенность заключается в том, что их нельзя точно представить в виде дроби m/n. Десятичная запись таких чисел бесконечна и не периодична, то есть нет определённого шаблона у цифр, расположенных после запятой.

Взаимосвязь множеств можно записать так: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, где ⊂ означает «является подмножеством». Проще говоря, каждое натуральное число является целым, каждое целое — рациональным, а каждое рациональное — действительным.

Свойства действительных чисел

К ним относятся:

полнота. Если взять два действительных числа, то между ними непременно найдётся третье, тоже действительное;
плотность. В любом интервале между числами (как рациональными, так и иррациональными) найдётся ещё множество чисел;
однозначное место на числовой прямой. У каждого действительного числа есть своя точка.

Модуль числа

Так называется абсолютная величина числа. В математике обозначается вертикальными чертами — |a|.

С геометрической точки зрения модуль числа представляет собой расстояние от начала координат (то есть от 0) до точки, соответствующей этому числу на координатной прямой.

Алгебраическое определение модуля:
|x| = x, если x ≥ 0;
|x| = -x, если x < 0.

Свойства модуля:

модуль любого числа неотрицателен, то есть больше или равен нулю;
модуль положительного числа равен ему самому;
модуль отрицательного числа равен противоположному (то есть положительному);
модуль нуля равен нулю;
модули противоположных чисел равны;
модуль числа в квадрате равен квадрату этого числа;
модуль суммы двух чисел либо равен сумме их модулей, либо меньше неё.

Все эти свойства широко используются в математике и физике, то есть в областях, где требуются абсолютные измерения и значения.

Действия над действительными числами

Над ними выполняют следующие операции — сложение, вычитание, умножение и деление. Перед каждым действием необходимо учитывать исходные знаки числа (положительные или отрицательные).

Сложение:

чисел с одинаковыми знаками;
чисел с разными знаками;
с нулём.

Вычитание:

положительных чисел;
отрицательных чисел;
положительных чисел из отрицательных.

Деление:

чисел с разными знаками;
дробных чисел с рациональными знаками.
Бывают случаи, когда делимое и делитель являются иррациональными числами. При таком раскладе частное записывается как числовое выражение (по возможности оно упрощается). При необходимости вычисляется его приближённое значение.

Особенности сравнения иррациональных чисел

Сравнение — это процесс, во время которого можно узнать, какое число больше, меньше или равно другому.

Основные тонкости:

обязательный учёт знаков. Если сравниваются иррациональные отрицательные числа, важно учитывать их расположение на числовой оси. То есть чем меньше отрицательное число по модулю, тем оно больше, и наоборот;
плотность множества действительных чисел. Между любыми двумя числами есть ещё хотя бы одно число (одно рациональное и одно иррациональное, иногда — больше);
необходимость доказательных преобразований. Для этого в математике часто используется метод гипотетического неравенства, а также так называемые эквивалентные преобразования.

Представление чисел в виде десятичных дробей

Это особый способ записи дробных чисел. Они записываются в позиционной десятичной системе счисления. Знаменатель здесь является степенью числа 10 (это и 10, и 100, и 1000, и далее). Запись в виде десятичной дроби существенно упрощает как сам вид чисел, так и их сравнение. Не говоря уже о более простом способе выполнения арифметических операций: десятичные дроби намного легче складывать, вычитать, умножать и делить, чем обычные.

С репетитором — быстрее!

Осталось записаться на бесплатную консультацию

Оставить заявку

Десятичная дробь записывается в виде целой части, которая отделена от дробной запятой. Сначала надо написать целую часть, затем поставить запятую, а после неё записать числитель дробной части.

Примеры:

4,6 — читается как «четыре целых шесть десятых»;
0,05 — читается как «ноль целых пять сотых»;
3,578 — читается как «три целых пятьсот семьдесят восемь тысячных»;
0,123 456 — читается как «ноль целых сто двадцать три тысячных четыреста пятьдесят шесть миллионных».

Следует помнить, что далеко не все обыкновенные дроби можно записать в виде десятичных. Это возможно только в том случае, когда в разложении знаменателя на простые множители отсутствуют цифры (кроме 2 и 5).