Как возводить степень в степень
Степень числа представляет собой математическую запись, в которой основание числа умножено само на себя такое количество раз, которое указано в показателе.
Например, в записи 2³:
2 является основанием степени, а 3 – показателем. То есть число 2 необходимо умножить само на себя трижды.
2 является основанием степени, а 3 – показателем. То есть число 2 необходимо умножить само на себя трижды.
Итого:
2³ = 2 · 2 · 2 = 8
2³ = 2 · 2 · 2 = 8
Главное правило
Оно звучит следующим образом: показатель степени указывает, какое количество раз основание степени умножается само на себя. Проще говоря, это краткая запись многократного умножения.
Математически это можно записать так:
aⁿ = a · a · … · a (произведение содержит *n* множителей, каждый из которых равен *a*).
aⁿ = a · a · … · a (произведение содержит *n* множителей, каждый из которых равен *a*).
Важные нюансы:
- если основания степеней одинаковые, то правила для выполнения математических действий сохраняются прежними. Если основания одинаковые, то надо каждую степень вычислять отдельно, и только потом выполнять все необходимые действия;
- если надо сложить или вычесть степени с одинаковыми основаниями и показателями, то надо сначала вычислить каждую степень, а потом только складывать или вычитать.
- Например, 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24, а не 2⁷;
- сначала надо возводить в степень, затем умножать и делить, и только потом — складывать и вычитать;
- если в математическом выражении присутствуют скобки, то действия в них должны быть первичными. Их надо «раскрыть» и только потом работать с остальными числами.
Числовые примеры
Первый случай — это отрицательное число в целой положительной степени:
Здесь работает правило: отрицательная степень означает обратную величину, то есть a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
- (-2)³ = (-2) · (-2) · (-2) = -8
- Тут степень нечётная, следовательно, результат отрицательный.
- (-3)⁴ = (-3) · (-3) · (-3) · (-3) = 81
- Тут степень чётная, следовательно, результат положительный.
Здесь работает правило: отрицательная степень означает обратную величину, то есть a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
- (−2)⁻³ = 1 / (−2)³ = 1 / (−8) = –0,125
- (−5)⁻² = 1 / (−5)² = 1 / 25 = 0,04. Тут степень чётная, поэтому минус автоматически исчезает.
Примеры с буквенными выражениями
Здесь в принципе действуют те же самые правила, что и в числовых:
- упростить выражение (2x)⁻². Решение: 1 / (2x)² = 1 / 4x²
- упростить выражение (−3y)⁻³. Решение: 1 / (−3y)³ = 1 / (−27y³) = –1 / 27y³ (поскольку степень нечётная, минус остаётся на месте) упростить (a/b)⁻⁴. Решение: (b/a)⁴ = b⁴ / a⁴
- упростить (2a²)⁻¹. Решение: 1 / 2a²
Отрицательные числа и десятичные дроби
Десятичная дробь возводится в степень по аналогии с обычными числами. Надо считать цифры после запятой:
- (0,1)² = 0,01
- (0,2)³ = 0,008
- (0,5)⁴ = 0,0625
- (0,2)⁻¹ = 1 / 0,2 = 5 (здесь дробь как бы «переворачивается», чтобы избавиться от минуса в показателе)
- (0,5)⁻² = 1 / (0,5)² = 1 / 0,25 = 4
Произведение и дроби
Основное правило возведения в степень произведения: каждый множитель надо возводить отдельно, а потом перемножить полученные результаты.
Формула: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
Формула: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
Это актуально для произведения любого количества множителей.
Пример:
(5cp)⁴ = 5⁴ · c⁴ · p⁴ = 625c⁴p⁴
(5cp)⁴ = 5⁴ · c⁴ · p⁴ = 625c⁴p⁴
При возведении в степень дроби действует следующее правило: надо отдельно возвести в степень числитель и знаменатель.
Формула: (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ, где b ≠ 0.
Формула: (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ, где b ≠ 0.
Пример:
(2a² / 7t³)³ = (2a²)³ / (7t³)³ = (2³ · (a²)³) / (7³ · (t³)³) = 8a⁶ / 343t⁹
(2a² / 7t³)³ = (2a²)³ / (7t³)³ = (2³ · (a²)³) / (7³ · (t³)³) = 8a⁶ / 343t⁹
Необходимо помнить, что на передний план выходят скобки. Если в числителе или в знаменателе дроби есть какая-то математическая операция, то в степень возводятся все выражения в скобках, а не его отдельные части.
Как не ошибиться в расчетах
Во-первых, надо проверять скобки. Именно в них, как правило, заключена основная информация — к чему относится степень.
Во-вторых, внимательно следить за знаками (положительными или отрицательными). Если в степень возводятся отрицательные числа, то это, как правило, влияет на результат. Если степень чётная, то минус меняется на плюс.
В-третьих, при решении задач на степень надо помнить и о других правилах. Например, иногда требуется сначала возвести в степень каждое число, потом упростить то, что получилось. В некоторых случаях применяется правило возведения степени в степень: (aᵐ)ⁿ = a^(m · n).
Автор
- Евгения ПоздняковаУчитель математики и физики. Закончила Курганский государственный педагогический университет, опыт преподавания — более трёх лет.