Куб суммы
Куб суммы - это математическое выражение, в котором сумма чисел или переменных возводится в третью степень. Формула куба суммы выглядит так:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
Чтобы получить данную формулу, надо перемножить три множителя: (a + b), (a + b) и (a + b).
Пример применения:
Возвести в куб сумму (2z + 3n).
Решение:
(2z + 3n)³ = (2z)³ + 3 · (2z)² · 3n + 3 · 2z · (3n)² + (3n)³ = 8z³ + 36z²n + 54zn² + 27n³
(2z + 3n)³ = (2z)³ + 3 · (2z)² · 3n + 3 · 2z · (3n)² + (3n)³ = 8z³ + 36z²n + 54zn² + 27n³
Разбор формулы
Само по себе возведение в квадрат — это умножение числа самого на себя. То есть (a + b)² = (a + b) · (a + b). Сначала нужно раскрыть скобки и умножить каждый член первой скобки на каждый член второй. Выглядит это следующим образом:
(a + b)(a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b = a² + ab + ba + b².
(a + b)(a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b = a² + ab + ba + b².
После этого надо привести подобные слагаемые. Получается:
a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b².
a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b².
Откуда взялась формула
Она получается в результате простого умножения многочленов. Алгоритм следующий:
- Представление куба в качестве произведения: (a + b)³ = (a + b) · (a + b) · (a + b).
- Умножение первых двух биномов: (a + b) · (a + b) = a² + 2ab + b².
- Умножение полученного квадрата на третий множитель: (a² + 2ab + b²) · (a + b).
- Раскрытие всех произведений: a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³.
- Приведение подобных слагаемых: a³ + (a²b + 2a²b) + (2ab² + ab²) + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
На что надо обратить внимание при расчетах
Во-первых, важен порядок действий. Сначала сумма возводится в квадрат, а потом полученное число умножается на третий множитель.
Во-вторых, часто возникают ошибки на последнем этапе, то есть на приведении подобных. Тут надо следить за тем, какие именно члены можно складывать.
Как применить формулу на практике
Сначала необходимо определить, что будут обозначать в математическом выражении a и b. Зачастую это не просто переменные, а целые конструкции (например, 2x, 3y², число 5).
Далее необходимо подставить все математические выражения в формулу и вычислить каждое из слагаемых в отдельности.
Наконец, сложить полученные результаты и привести подобные слагаемые.
Пример простой
Раскрыть скобки в выражении (x + 3)³
Здесь a = x, а b = 3. Подставляем их в формулу:
(x + 3)³ = x³ + 3 · x² · 3 + 3 · x · 3² + 3³ = x³ + 9x² + 27x + 27
Здесь a = x, а b = 3. Подставляем их в формулу:
(x + 3)³ = x³ + 3 · x² · 3 + 3 · x · 3² + 3³ = x³ + 9x² + 27x + 27
Проверка: подставим конкретное число вместо *x* (например, x = 2) в исходное выражение и в полученный многочлен.
Исходное выражение:
(2 + 3)³ = 5³ = 125
(2 + 3)³ = 5³ = 125
Полученный многочлен:
2³ + 9 · 2² + 27 · 2 + 27 = 8 + 36 + 54 + 27 = 125
2³ + 9 · 2² + 27 · 2 + 27 = 8 + 36 + 54 + 27 = 125
Результаты совпадают, значит, преобразование выполнено верно.
Пример с коэффициентами
Раскрыть скобки в выражении (2x + 3y²)³
В данной задаче a = 2x, а b = 3y². Подставляем в формулу:
(2x + 3y²)³ = (2x)³ + 3 · (2x)² · (3y²) + 3 · (2x) · (3y²)² + (3y²)³
В данной задаче a = 2x, а b = 3y². Подставляем в формулу:
(2x + 3y²)³ = (2x)³ + 3 · (2x)² · (3y²) + 3 · (2x) · (3y²)² + (3y²)³
Выполняем вычисления:
= 8x³ + 3 · 4x² · 3y² + 3 · 2x · 9y⁴ + 27y⁶
= 8x³ + 36x²y² + 54xy⁴ + 27y⁶
При возведении в степень коэффициентов и переменных особое внимание нужно обращать на скобки.
Как не допустить ошибок
Во-первых, все шаги должны быть последовательными. Нельзя пропускать ни одного действия, а для верности записывать каждое возведение в степень и умножение. Благодаря этому меньше шансов на ошибку, особенно при использовании коэффициентов и знаков.
Во-вторых, стоит применять так называемое мнемоническое правило. Хороший ориентир — это коэффициенты 1, 3, 3, 1 (строка треугольника Паскаля для третьей степени).
В-третьих, обязательно проверять полученные результаты. По возможности подставлять вместо переменных конкретные числа. При правильном решении все должно совпасть.
Обратное применение (разложение на множители)
Действовать тут надо в обратную сторону. То есть представлять сумму (многочлен справа) как куб одного многочлена.
Пример 1: требуется разложить на множители многочлен:
x³ + 3x²y + 3xy² + y³
x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Решение: сравниваем с формулой куба суммы. Здесь a = x, а b = y. Выражение совпадает с правой частью формулы. Поэтому его можно записать как:
x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = (x + y)³
x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = (x + y)³
Пример 2: разложить
27x³ + 54x² + 36x + 8
27x³ + 54x² + 36x + 8
Решение:
27x³ — это (3x)³, а 8 — это 2³.
Средние члены: 54x² и 36x.
27x³ — это (3x)³, а 8 — это 2³.
Средние члены: 54x² и 36x.
Проверяем:
a = 3x, b = 2
3a²b = 3 · (9x²) · 2 = 54x²
3ab² = 3 · (3x) · 4 = 36x
a = 3x, b = 2
3a²b = 3 · (9x²) · 2 = 54x²
3ab² = 3 · (3x) · 4 = 36x
Всё сходится. Следовательно, исходный многочлен представляет собой куб суммы (3x + 2)³, и разложение на множители будет таким же:
27x³ + 54x² + 36x + 8 = (3x + 2)³
27x³ + 54x² + 36x + 8 = (3x + 2)³
Автор
- Евгения ПоздняковаУчитель математики и физики. Закончила Курганский государственный педагогический университет, опыт преподавания — более трёх лет.