Квадрат суммы
Квадрат суммы — математическое выражение, которое получается в результате возведения в квадрат суммы двух выражений или чисел.
Формула:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Читается она так: квадрат суммы равен квадрату первого слагаемого, к нему добавляется удвоенное произведение первого слагаемого на второе и квадрат второго слагаемого.
Разбор формулы
Само по себе возведение в квадрат — это умножение числа самого на себя. То есть (a + b)² = (a + b) · (a + b). Сначала нужно раскрыть скобки и умножить каждый член первой скобки на каждый член второй. Выглядит это следующим образом:
(a + b)(a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b = a² + ab + ba + b².
(a + b)(a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b = a² + ab + ba + b².
После этого надо привести подобные слагаемые. Получается:
a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b².
a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b².
Алгебраический способ
Он выстраивается на правиле умножения многочленов. Возведение в квадрат здесь идентично умножению выражения само на себя, то есть (a + b)² = (a + b) · (a + b).
Далее надо раскрыть скобки, то есть каждый член первой скобки умножить на каждый член второй:
(a + b) · (a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b = a² + ab + ba + b².
(a + b) · (a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b = a² + ab + ba + b².
Два средних слагаемых можно сложить. Получится:
a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².
a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².
Геометрический способ
Он делает формулу квадрата суммы более наглядной и в каком-то смысле слова понятной. Представьте квадрат со стороной (a + b), его площадь равна (a + b)². Затем разбейте его на части:
a² + b² + ab + ab = a² + 2ab + b²
- два квадрата: один — со стороной a и площадью a², второй — со стороной b и площадью b²;
- два одинаковых прямоугольника. Длина каждого — a, а ширина — b (площадь каждого из них — ab).
a² + b² + ab + ab = a² + 2ab + b²
Поскольку разбита одна и та же фигура, обе записи площади идентичны.
Как применять формулу на практике
Во-первых, нужно обязательно проверять структуру. То есть убедиться, что в задаче речь идёт действительно о квадрате суммы.
Во-вторых, не пропускать удвоенное произведение – это очень частая и грубая ошибка.
В-третьих, формулу можно применять в обе стороны. То есть и слева направо (чтобы раскрыть скобки), и справа налево (чтобы разложить на множители готовый квадрат суммы).
Пример простой
Возвести в квадрат сумму: (x + 5)²
Тут применяется формула: a = x, b = 5
(x + 5)² = x² + 2 · x · 5 + 5² = x² + 10x + 25
Ответ: x² + 10x + 25
Тут применяется формула: a = x, b = 5
(x + 5)² = x² + 2 · x · 5 + 5² = x² + 10x + 25
Ответ: x² + 10x + 25
Пример с коэффициентами
Возвести в квадрат сумму: (3a + 7b)²
В этом примере a = 3a, b = 7b. Подставляем эти значения в формулу:
(3a + 7b)² = (3a)² + 2 · 3a · 7b + (7b)² = 9a² + 42ab + 49b²
Ответ: 9a² + 42ab + 49b²
В этом примере a = 3a, b = 7b. Подставляем эти значения в формулу:
(3a + 7b)² = (3a)² + 2 · 3a · 7b + (7b)² = 9a² + 42ab + 49b²
Ответ: 9a² + 42ab + 49b²
Пример с несколькими переменными
Возвести в квадрат сумму: (2m² + 3n³)²
Здесь a = 2m², b = 3n³. Применяем формулу:
(2m² + 3n³)² = (2m²)² + 2 · 2m² · 3n³ + (3n³)² = 4m⁴ + 12m²n³ + 9n⁶
Ответ: 4m⁴ + 12m²n³ + 9n⁶
Здесь a = 2m², b = 3n³. Применяем формулу:
(2m² + 3n³)² = (2m²)² + 2 · 2m² · 3n³ + (3n³)² = 4m⁴ + 12m²n³ + 9n⁶
Ответ: 4m⁴ + 12m²n³ + 9n⁶
Пример быстрого счета
Вычисляем 48² без калькулятора. Для этого необходимо представить число 48 как разность удобных чисел: 48 = 50 — 2. Затем применяем формулу квадрата разности (a — b)² = a² - 2ab + b². Получается:
(50 — 2)² = 50² - 2 · 50 · 2 + 2² = 2500 — 200 + 4 = 2304
Ответ: 2304
(50 — 2)² = 50² - 2 · 50 · 2 + 2² = 2500 — 200 + 4 = 2304
Ответ: 2304
Быстрый счёт обычно используется в тех случаях, когда число можно представить как сумму или разность круглых чисел. В других ситуациях устный счёт может стать проблематичным.
Связь с квадратом разности
Формулы очень похожи по своей структуре. Отличаются они только знаком среднего слагаемого. В квадрате суммы стоит +2ab, а в квадрате разности — -2ab.
Формулу квадрата разности можно получить из формулы квадрата суммы, если сделать простую замену: представить разность (a — b) как сумму (a + (-b)). Тогда получается следующее:
(a – b)² = (a + (–b))² = a² + 2a · (–b) + (–b)² = a² – 2ab + b²
Пример: требуется возвести в квадрат разность (x – 3y). Используется формула:
(x – 3y)² = x² – 2 · x · 3y + (3y)² = x² – 6xy + 9y²
Обратное применение (разложение на множители)
Здесь трёхчлен как бы «сворачивается» обратно в квадрат суммы. То есть выглядит это так:
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² + 2ab + b² = (a + b)²
Пример 1: 9x² + 30x + 25
9x² - это (3x)²,
25 — это 5²,
а 30x — это 2 · (3x) · 5.
25 — это 5²,
а 30x — это 2 · (3x) · 5.
Все условия формулы выполнены, значит:
9x² + 30x + 25 = (3x + 5)² = (3x + 5)(3x + 5)
9x² + 30x + 25 = (3x + 5)² = (3x + 5)(3x + 5)
Пример 2: 16x² + 40xy + 25y²
Квадраты:
(4x)² = 16x²,
(5y)² = 25y².
(4x)² = 16x²,
(5y)² = 25y².
Проверяем удвоенное произведение:
2 · (4x) · (5y) = 40xy.
2 · (4x) · (5y) = 40xy.
После этого выражение сворачивается:
16x² + 40xy + 25y² = (4x + 5y)² = (4x + 5y)(4x + 5y)
16x² + 40xy + 25y² = (4x + 5y)² = (4x + 5y)(4x + 5y)
Автор
- Евгения ПоздняковаУчитель математики и физики. Закончила Курганский государственный педагогический университет, опыт преподавания — более трёх лет.