Квадратный корень
Корень квадратный из определенного числа представляет собой такое неотрицательное число, которое дает исходное число при возведении в квадрат. Исходное число именуется подкоренным выражением. Обозначается он с помощью специального знака, который называется радикалом — √, например,
Запись его подчиняется таким правилам:
- Под радикалом может располагаться не только отдельное число, но и выражение, из результата которого корень необходимо извлечь, например, √(a + 3), в данном случае двучлен a + 3 является подкоренным выражением.
- Длина и высота радикала при записи должны быть такими, чтобы покрывать подкоренное выражение полностью.
- Если в одной строке присутствует несколько подкоренных выражений, различающихся по высоте, то все радикалы подстраиваются под наиболее высокое среди них.
История и происхождение символа
Название «радикал» происходит от латинского слова Radix — «корень», так в XIII в. именовали квадратный корень итальянские математики — это название вошло в обиход благодаря переводам арабских текстов. В XV в. в Германии корень обозначался с помощью точки перед числом либо выражением.
В 1525 г. в книге немецкого математика Кристофа Рудольфа «Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил алгебры, обычно называемых Косc» появляется обозначение радикала, близкое к современному, а в 1637 г. Рене Декарт объединил данный символ с горизонтальной чертой (которая прежде обозначала скобки), выделяющей подкоренное выражение. Современный вид радикал впервые принял в книге «Руководство алгебры», написанной французским математиком Роллом в 1690 г.
Относительно происхождения данного символа нет единого мнения. Некоторые исследователи возводят его к трудам арабских математиков, в частности, Абу аль-Хасана ибн Али аль-Каласади (1421−1486), связывая с арабской буквой ǧج (ǧīm) — первой буквой арабского слова جذر (джадир) — «корень». Другое предположение высказал Леонард Эйлер — он считал что радикал происходит от латинской буквы r.
Свойства арифметического квадратного корня
Основные свойства квадратного корня таковы:
- Он всегда больше нуля либо равен ему.
- Извлечь его можно лишь из положительного числа.
- Корень из произведения равняется произведению корней из входящих в него двух чисел: . Корень из дроби (частного) равен отношению корня числителя к корню знаменателя: .
- Корень из квадрата какого-либо числа равняется его модулю: .
- Извлекая из степени корень, ее делят на два: . Большую степень можно предварительно разложить на множители: .
- Корень из суммы или разности не равняется сумме или разности корней составляющих ее чисел.
Сравнение квадратных корней
Теорема о сравнении корней дает возможность определить, который из них больше или меньше, без извлечения:
Если два корня имеют одинаковый показатель степени n, то большим будет тот корень, у которого больше подкоренное выражение. Чтобы сравнить корни с разными показателями, необходимо привести их к наименьшему общему кратному показателей.
В соответствии с данной теоремой сравнение корней производится следующим образом:
- При сравнении двух корней с одинаковыми четными показателями следует убедиться, что оба подкоренных выражения являются положительными, и сравнить их — у большего подкоренного выражения больший корень.
- Сравнивая корни с равными нечетными показателями степени возможны как положительные, так и отрицательные подкоренные выражения, и их тоже сравнивают, как и в предыдущем случае.
- При сравнении корня с числом искомое число должно быть положительным для четных корней и может быть любым для нечетных.
Преобразование выражений и действия с корнями
Выражения, содержащие квадратные корни, могут быть преобразованы по определенным правилам:
- Если перед корнем стоит множитель, можно внести его под корень, возведя в квадрат.
- Если все действия в подкоренном выражении являются умножением, множитель из-под знака корня может быть выведен (если речь идет об одном числе, его можно разложить на множители) — из выносимого числа при этом извлекается корень: .
- Освобождение от иррациональности в знаменателе предполагает устранение из него корней, в том числе и квадратных. При наличии одиночного корня достаточно умножить на него знаменатель и числитель. Если в знаменателе присутствует разность или сумма, содержащая корни, числитель и знаменатель умножают на сопряженное выражение — такое же, но с другим знаком
Как вычислять корень без калькулятора
Для извлечения квадратного корня не обязательно применять калькулятор:
- Для целых чисел от 1 до 100 используется таблица квадратов двузначных чисел.
- Для больших чисел применяется метод подбора, при этом последняя цифра исходного числа подсказывает последнюю цифру искомого, например, квадраты чисел, заканчивающихся на 2 и 8, могут заканчиваться на 4.
- Квадратный корень можно извлечь в столбик.
Автор
- Евгения ПоздняковаУчитель математики и физики. Закончила Курганский государственный педагогический университет, опыт преподавания — более трёх лет.