Записаться
Войти
Записаться
Войти
при оплате абонемента в течение 24 часов после записи на курс
Дарим занятия!
Оставить заявку

Квадратный трехчлен

01.07.2026 4 минуты
Квадратный трехчлен
Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax² + bx + c. Здесь *x* является переменной, *a*, *b*, *c* - некоторыми числами, причём *a* не равно нулю. *a* - это старший коэффициент при x², *b* - коэффициент при переменной *x*, а *c* является постоянным числом, которое не содержит переменной (то есть это свободный член).
Приведём примеры квадратных трёхчленов:
  • x² + 5x + 6
  • 2x² - 7x + 3
  • -3x² + x — 8
Такие трёхчлены часто используют при решении квадратных уравнений, при составлении графиков функций и других алгебраических преобразований. Графиком квадратного трёхчлена является парабола: если *a* > 0, то её ветви направлены вверх, а если *a* < 0 — вниз.
Поможем понять математику!
Запишитесь на бесплатную консультацию!
Записаться

Корни квадратного трехчлена

Они представляют собой значения переменной, при которых итоговое значение трёхчлена равно нулю. Соответственно, чтобы правильно найти корень, необходимо решить уравнение: ax² + bx + c = 0.
Их количество зависит от дискриминанта (D = b² − 4ac):
  • если D > 0, то есть 2 корня;
  • если D = 0, то 1 корень;
  • если D < 0, то действительных корней нет.
Пример: надо найти корни трёхчлена x² − 5x + 6:
  1. Приравниваем к нулю: x² − 5x + 6 = 0.
  2. Определяем дискриминант: D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Так как D > 0, корней два.
  3. Подставляем результаты: x₁ = (5 + √1) / 2 = 3, x₂ = (5 − √1) / 2 = 2.
  4. Записываем ответ: корни равны 2 и 3.

Теорема Виета

Согласно теореме, для уравнения вида x² + px + q = 0, если x₁ и x₂ являются его корнями, то:
  • сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком: x₁ + x₂ = -p;
  • произведение корней равно свободному члену: x₁ · x₂ = q.
Для общего уравнения ax² + bx + c = 0 (где a ≠ 1) формулы таковы:
  • сумма корней: x₁ + x₂ = -b/a;
  • произведение корней: x₁ · x₂ = c/a.
Данная теорема актуальна только при наличии корней в уравнении. Её часто используют в школьной программе (8−9 классы) и на экзаменах (ОГЭ, ЕГЭ) как быстрый способ решения и проверки.
Применяем теорему разными способами:
  • метод подбора корней. Суть заключается в том, что нужно найти числа, дающие в сумме –p (или –b/a), а в произведении – q (или c/a). Пример: решить уравнение x² – 5x + 6 = 0. По теореме Виета: x₁ + x₂ = 5, x₁ · x₂ = 6. Подбор чисел даёт результат 2 и 3 (так как 2 + 3 = 5 и 2 · 3 = 6). Ответ: x₁ = 2, x₂ = 3.
  • проверка найденных корней. После того как они найдены через дискриминант, полученные данные можно подставить в формулы теоремы Виета. При выполнении равенства задача решена верно.
  • составление квадратного уравнения по уже известным корням (x₁ и x₂). Получается: x² – (x₁ + x₂)x + x₁ · x₂ = 0.
  • решение задач с параметрами. Теорема Виета используется в них очень часто: если нужно найти значение параметра для выполнения соотношения между корнями.

Выделение квадрата двучлена

Это особое алгебраическое действие, когда квадратный трёхчлен записывается в виде суммы квадрата двучлена и другого выражения. Формулы сокращённого умножения:
  • (a + b)² = a² + 2ab + b² (квадрат суммы);
  • (a — b)² = a² - 2ab + b² (квадрат разности).
Алгоритм выделения квадрата двучлена:
  1. Если коэффициент a не равен единице, он выносится за скобки:
  2.  a (x² + (b/a)x + (c/a)).
  3. Слагаемое с *x* превратить в удвоенное произведение:
  4.  bx = 2 · (b/(2a)) · x.
  5. Прибавить и сразу вычесть квадрат полученного числа:
  6.  (b/(2a))².
  7. Сгруппировать первые три слагаемых в скобках. Если всё выполнено верно, они должны образовать квадрат суммы или разности.
  8. Упростить выражение за скобками.
Пример 1. Выделить квадрат двучлена в выражении x² + 6x + 5
Коэффициент при *x* равен 6. Представляем его как
2 · (6/2) · x = 2 · 3 · x.
Далее прибавляем и вычитаем (3)² = 9:
x² + 6x + 5 = x² + 2·3·x + 9 – 9 + 5 = (x² + 6x + 9) – 4 = (x + 3)² – 4.
Пример 2. Рассмотреть трёхчлен 2x² + 8x + 3
Коэффициент при x² не равен 1, поэтому выносим его за скобки:
2(x² + 4x) + 3.
Внутри скобки представляем 4x как:
2 · (4/2) · x = 2 · 2 · x.
Выполняем вычисления:
2(x² + 4x) + 3 = 2(x² + 4x + 4 – 4) + 3 = 2((x² + 4x + 4) – 4) + 3 = 2((x + 2)² – 4) + 3 = 2(x + 2)² – 8 + 3 = 2(x + 2)² – 5.
С репетитором — быстрее!
Осталось записаться на бесплатную консультацию
Разложение квадратного трёхчлена на множители по формуле с корнями x₁ и x₂:
ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂)
Алгоритм:
  1. Приравнять трёхчлен к нулю: ax² + bx + c = 0.
  2. Определить дискриминант этого уравнения.
  3. Определить количество корней.
  4. Найти корни x₁ и x₂.
  5. Подставить корни в формулу разложения.
  6. Упростить полученное выражение.

Пример

Разложить на множители 2x² - 5x + 3
Решение:
  1. Приравнивание к нулю:
  2.  2x² - 5x + 3 = 0
  3. Вычисление дискриминанта:
  4.  D = (-5)² - 4 · 2 · 3 = 25 — 24 = 1
  5. Поиск корней:
  6.  x₁ = (5 — 1) / 4 = 1
  7.  x₂ = (5 + 1) / 4 = 1,5
  8. Подстановка результатов в формулу:
  9.  2x² - 5x + 3 = 2(x — 1)(x — 1,5)
  10. Упрощение:
  11.  2(x — 1)(x — 1,5) = (x — 1)(2x — 3)
Ответ: 2x² - 5x + 3 = (x — 1)(2x — 3)
Автор
  • Евгения Позднякова
    Учитель математики и физики. Закончила Курганский государственный педагогический университет, опыт преподавания — более трёх лет.