Неполные квадратные уравнения
Квадратные уравнения — одна из наиболее фундаментальных тем в математике. Известны они были ещё древним вавилонянам, использовавшим их при измерении земельных участков. В VII веке н. э. Брахмагупта — индийский астроном и математик — сформулировал универсальное правило их решения, которое по своей сути совпадает с современной методикой.
Что такое квадратное уравнение
К категории квадратных относятся уравнения вида ax² + bx + c = 0. В данной формуле *x* представляет собой независимую переменную, а *a*, *b*, *c* являются числами (они именуются коэффициентами), причём коэффициент *a*, который является старшим, всегда отличен от нуля. Ключевой определяющий признак — наибольшая степень переменной *x*, равная 2.
В состав уравнений рассматриваемого вида входят следующие коэффициенты:
- a — первый, иначе называемый старшим — это число, которое стоит перед переменной x². Первый коэффициент ни при каких условиях не может равняться нулю, поскольку в случае нулевого значения указанного числа уравнение перестаёт быть квадратным и переходит в категорию линейных;
- b — второй коэффициент — число, относящееся ко второму слагаемому, стоящее как множитель перед переменной x, оно используется в формуле дискриминанта;
- c — свободный член, то есть число, не связанное с переменной *x*, от него зависит точка пересечения параболы, представляющей собой график квадратичной функции, с осью *y*.
Если первый коэффициент — единица, то такое уравнение именуется приведённым, а если он отличен и от нуля, и от единицы — неприведённым. Неприведённое преобразуется в приведённое посредством деления его обеих частей на *a*; число корней при этом остаётся прежним.
Неполное уравнение
В полном уравнении все коэффициенты всегда больше нуля. Если какой-либо из них, исключая первый, равен нулю, уравнение является неполным. Оно может быть трёх видов:
При решении таких уравнений обе их части делят на *a*, получая уравнение x² = 0, единственным корнем которого является 0, поскольку 0² = 0:
Решаются посредством разложения на множители — *x* выносится за скобки, и каждый из множителей приравнивается к нулю (учитывая, что таково их произведение):
Для решения нужно перенести *c* в правую часть, изменив его знак, затем разделить и левую, и правую части на *a*.
3x² = 12
x² = 12: 3
x² = 4
x₁ = 2
x₂ = -2
- ax² = 0 (нулю равны b и c);
- ax² + bx = 0 (нулю равен свободный член c);
- ax² + c = 0 (нулю равняется b).
При решении таких уравнений обе их части делят на *a*, получая уравнение x² = 0, единственным корнем которого является 0, поскольку 0² = 0:
- 2x² = 0
- x² = 0: 2
- x² = 0
- x = 0
Решаются посредством разложения на множители — *x* выносится за скобки, и каждый из множителей приравнивается к нулю (учитывая, что таково их произведение):
- 2x² - 32x = 0
- x (2x — 32) = 0
- x₁ = 0
- 2x — 32 = 0
- 2x = 32
- x₂ = 32: 2 = 16
Для решения нужно перенести *c* в правую часть, изменив его знак, затем разделить и левую, и правую части на *a*.
- Если результат — отрицательное число, уравнение не имеет корней.
- Если результат — положительное число, имеются два действительных корня — положительное и отрицательное значение квадратного корня из данного результата:
3x² = 12
x² = 12: 3
x² = 4
x₁ = 2
x₂ = -2
Алгоритм действий
Решение квадратных уравнений заключается в нахождении их корней — либо в установлении того факта, что таковых не имеется. Корнем квадратного уравнения именуется значение x, при котором выражение ax² + bx + c становится равным нулю. Число, при подстановке которого вместо *x* получается равенство, называется действительным корнем. Квадратное уравнение может иметь два различных действительных корня, два совпадающих действительных корня (фактически это означает наличие одного действительного корня) либо не иметь действительных корней вообще — это зависит от значения дискриминанта.
Дискриминант квадратного уравнения представляет собой выражение, с помощью которого определяется количество его корней. Обозначается он буквой D и вычисляется по следующей формуле:
D = b² − 4ac
Соответственно тому, каким знаком обладает дискриминант, возможны три варианта. Квадратное уравнение:
- имеет два различных действительных корня при условии, что дискриминант больше нуля (положительное число);
- имеет два совпадающих действительных корня (один действительный корень), когда дискриминант равен нулю;
- не имеет действительных корней при отрицательном значении дискриминанта.
Корни вычисляются по следующим формулам:
- x₁ = (−b + √D) / (2a)
- x₂ = (−b − √D) / (2a) (при D > 0)
Алгоритм решения квадратных уравнений:
- Уравнение приводят к стандартному виду — ax² + bx + c = 0. Для этого необходимо все члены перенести в одну часть, чтобы в другой остался ноль.
- Определяют все три коэффициента — a, b, c (их значения можно выписать).
- Устанавливают, равны ли b и c нулю или нет.
- В зависимости от того, равны или не равны нулю эти коэффициенты, определяют, является ли уравнение полным или неполным. Если оно неполное — к какому именно виду относится, и применяют соответствующий способ решения.
Квадратные уравнения – это фундамент заданий по алгебре. Поэтому эту тему нужно изучить максимально подробно и запомнить основные правила.
Автор
- Евгения ПоздняковаУчитель математики и физики. Закончила Курганский государственный педагогический университет, опыт преподавания — более трёх лет.