Параллелограмм
Параллелограмм — это четырехугольник с равными и параллельными противоположными сторонами. Немало подобных фигур можно наблюдать в реальности:
- панели зданий, окна, двери;
- столы;
- зеркала;
- облицовочная плитка, паркет;
- рамки для фотографий и картин;
- обложки книг и блокнотов;
- некоторые дорожные знаки;
- разнообразные элементы ландшафтного дизайна, к примеру, цветники, клумбы, декоративные водоемы, дорожки и др.
В области архитектуры и строительства именно очертания параллелограммов в каркасах, балках придают несущим конструкциям стабильность, способствуя равномерному распределению усилий.
В области инженерии данная форма играет важную роль в создании механизмов, где необходимо обеспечить передачу силы. Сохранение параллельности сторон при изменении углов делает такую передачу в механизмах наиболее надежной и стабильной.
В робототехнике в конструкции манипуляторов тоже часто применяются параллелограммные механизмы, благодаря которым рабочие органы движутся параллельно.
Свойства и признаки параллелограмма
Не стоит путать свойства с признаками, хотя, на первый взгляд, кажется, что они похожи. К примеру, свойствами обладает фигура, которая уже является параллелограммом, а признаки необходимы для того, чтобы выделить параллелограмм среди четырехугольников.
Свойства
Любой параллелограмм характеризуется следующими свойствами:
- Равенство и параллельность противолежащих сторон (например, в параллелограмме ).
- Противоположные углы равны.
- Учитывая свойство, присущее параллельным прямым, углы, которые прилежат к одной стороне, в сумме составляют всегда 180°.
- Все четыре угла в такой геометрической фигуре в общей сумме составляют 360°.
- В параллелограмме можно провести две диагонали, которые будут пересекаться, причем каждая из них делится пополам той точкой, в которой они пересекаются.
- Квадраты диагоналей в сумме составляют число, равное сумме квадратов смежных сторон, помноженной на два: .
Признаки
Геометрическую фигуру можно назвать параллелограммом, если у нее:
- противолежащие стороны не пересекаются (параллельны) и равны друг другу;
- диагонали пересекаются, разделяясь на две одинаковые части в месте пересечения;
- противолежащие углы равны попарно.
Частные случаи
Выделяется три частных случая параллелограмма:
- Прямоугольник представляет собой параллелограмм с четырьмя прямыми углами и равными диагоналями. Данная геометрическая фигура имеет две оси симметрии.
- Ромб — фигура, у которой равны все четыре стороны, а диагонали представляют собой биссектрисы углов и при пересечении образуют прямой угол.
- Квадрат сочетает характеристики ромба и прямоугольника: у него наблюдается равенство всех сторон, а все углы равны 90°.
Формулы
Существуют специальные формулы для вычисления периметра и площади этой геометрической фигуры.
Периметр фигуры
Периметр параллелограмма вычисляется с учетом равенства параллельных сторон:
К примеру, дан параллелограмм, стороны которого равны соответственно 12 см и 7 см.
Площадь фигуры
Площадь параллелограмма можно вычислить с помощью нескольких способов. Для этого необходимо:
- умножить длину стороны на длину проведенной к ней высоты: ;
- перемножить длины смежных сторон и синус образуемого ими угла: ;
- перемножить длины диагоналей и синус угла, образуемого ими, и разделить на два: .
Примеры:
- Длина стороны параллелограмма равна 12 см, высота, проведенная к ней, — 7 см. .
- Стороны параллелограмма равны 8 см и 6 см и образуют угол 60°. .
- Диагонали параллелограмма длиной 14 см и 10 см образуют угол 75°. .
Для параллелограмма действительно правило, относящееся к любым многоугольникам: площадь многоугольника равна сумме площадей фигур, составляющих его. Применительно к параллелограмму это означает, что его площадь равна сумме площадей двух треугольников либо трапеции и треугольника, на которые он может быть разделен.
Автор
- Евгения ПоздняковаУчитель математики и физики. Закончила Курганский государственный педагогический университет, опыт преподавания — более трёх лет.