Признаки делимости чисел

24.03.2026 5 минут

Деление — действие, противоположное умножению, но если умножение возможно практически для любых чисел, то разделить одно число без остатка на другое можно не всегда. Математические правила, позволяющие установить принципиальную возможность подобной операции с двумя конкретными числами, не производя действие непосредственно, называются признаками делимости (ПД).

Эти признаки имеют важное значение в математических вычислениях:

Знание таких правил значительно упрощает счёт, позволяя предугадать результаты деления без выполнения такового.
При сокращении дробей они помогают быстрее подобрать общее число, разделить нацело на которое можно как знаменатель, так и числитель.
При разложении на множители ПД составляют базу простых множителей, это имеет особое значение при действиях со степенями и корнями.
Учитывая такие правила, можно намного быстрее найти наименьший общий делитель и наименьшее общее кратное, чем действуя методом простого подбора.

Такое упрощение счета особенно важно, когда время, отведенное на вычисления, ограничено, например, на экзамене. Польза П Д не ограничивается теоретическими вычислениями, они помогают и на практике, например, когда необходимо определить приблизительную стоимость покупки при ограниченных финансовых ресурсах. В логистике они помогают рационально распределять груз в упаковке, например, можно ли равномерно распределить 124 единицы по коробкам, каждая из которых вмещает четыре единицы. В строительстве по такому же принципу рассчитывается распределение стройматериалов. ПД позволяют рассчитать количество сладостей для определенного числа гостей, определить, на какой срок приема рассчитана упаковка лекарства и т. п.

Поможем понять математику!

Запишитесь на бесплатную консультацию!

Записаться

ПД

Определяя, возможно ли деление на определенное простое число, обращают внимание либо на его последнюю цифру делимого, либо на сумму цифр, составляющих его:

На 2 делятся числа, оканчивающиеся на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8). Например, 136 — заключительная цифра 6 — четное, следовательно, 136 на 2 делится; 247 — заключительная цифра 7 — нечетное, на 2 не делится.
На 3 делятся числа, сумма цифр которых делится на 3. Например, 123 → 1+2+3=6 (делится на 3) → 123 делится на 3; 205 → 2+0+5=7 (не делится на 3) → 205 на 3 не делится.
На 4 делятся числа, оканчивающиеся двумя нулями, или те, у которых две последние цифры образуют число, делящееся на 4. Например, 1300 — делится (два нуля в конце); 1528 — две последние цифры 28, 28 делится на 4 → 1528 делится на 4; 718 — 18 на 4 не делится → 718 на 4 не делится.
На 5 делятся числа, оканчивающиеся на 0 или 5. Например, 70, 165 — делятся на 5; 763 — не делится.
На 6 делятся числа, которые одновременно делятся на 2 и на 3 (то есть четные числа, сумма цифр которых делится на 3). Например, 18 — четное, 1+8=9 (делится на 3) → 18 делится на 6; 21 — нечетное → на 6 не делится; 22 — четное, но 2+2=4 (не делится на 3) → на 6 не делится.
На 8 делятся числа, у которых три последние цифры — нули или образуют число, делящееся на 8. Например, 5000 — делится; 1568 — 568: 8 = 71 → 1568 делится на 8.
На 9 делятся числа, сумма цифр которых делится на 9. Например, 153 → 1+5+3=9 (делится на 9) → 153 делится на 9; 440 → 4+4+0=8 (не делится на 9) → 440 на 9 не делится.
На 10 делятся числа, оканчивающиеся на 0. Например, 1790 — делится; 1502 — нет.

На 7 определение делимости — более сложная процедура: следует умножить последнюю цифру на 2 и вычесть результат из оставшейся части числа (если итоговое число велико, процедуру повторяют). Исходное число делится на 7, если полученный результат равен нулю или делится на 7.
Например: 343 → 34 — (3×2) = 34 — 6 = 28, 28 делится на 7 → 343 делится на 7.

ПД на составные числа и числа больше 10

В отношении некоторых составных чисел тоже имеются определенные правила:

На 11 делятся двузначные числа, состоящие из двух одинаковых цифр (22, 33, 44 и т. д.). Чтобы установить этот признак применительно к числу более крупному, складывают составляющие его цифры, расположенные на нечетных местах (первое, третье и т. д.), затем складывают цифры на четных местах (второе, четвертое и т. д.) и вычитают вторую сумму из первой. Итог, равный нулю или делимый на 11, указывает, что исходное число также кратно 11.
Например, 616: (6 + 6) — 1 = 12 — 1 = 11, следовательно, 616 делится на 11.
На 12 делятся числа, сочетающие признаки делимости на 3 (сумма цифр делится на 3) и на 4 (две последние цифры образуют число, делящееся на 4).
Например, 324: сумма цифр 3+2+4=9 (делится на 3), две последние цифры 24 (делятся на 4) → 324 делится на 12.
На 15 делятся числа, сочетающие признаки делимости на 3 (сумма цифр делится на 3) и на 5 (последняя цифра 0 или 5).
Например, 45: оканчивается на 5, сумма цифр 4+5=9 (делится на 3) → 45 делится на 15.
На 25 делятся числа, оканчивающиеся на два нуля, 25, 50, 75.
Например, 200, 625, 150, 375.

Последний признак связан с тем, что 100 делится на 25, поэтому сотни на делимость на данное число не влияют.

С репетитором — быстрее!

Осталось записаться на бесплатную консультацию

Записаться

Общие свойства и алгоритмы

Делимость чисел влияет на результаты действий, совершаемых с ними:

Если каждое из слагаемых делится на данное число, сумма тоже делится на него.
Если на данное число делятся уменьшаемое и вычитаемое, результат вычитания тоже на него делится.
Произведение делится на данное число, если хотя бы один из множителей делится на него.

Признаки делимости связаны с наибольшим общим делителем (НОД) — самым крупным числом, на которое делятся два данных числа. Если число делится на *a* и на *b*, и при этом НОД (a, b) = 1 (числа взаимно простые), то оно делится на их произведение — a x b.

Автор

Евгения Позднякова

Учитель математики и физики. Закончила Курганский государственный педагогический университет, опыт преподавания — более трёх лет.