Теорема Пифагора
Теорема Пифагора относится к числу основополагающих утверждений евклидовой геометрии. Она описывает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
Краткая история теоремы
История данной теоремы уходит вглубь веков:
- Вычисления, аналогичные ей, встречаются на клинописных глиняных табличках, относящихся ко временам царя Хаммурапи, правившего Вавилоном в (XVII в. до н.э.).
- В Древнем Египте, когда необходимо было построить прямой угол, применяли треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — по всей видимости, египтяне не знали доказательства теоремы, но вычислили соотношение опытным путем, производя измерения.
- Честь наиболее раннего обоснования данного соотношения гипотенузы и катетов принадлежит Пифагору Самосскому (570−490 до н. э.) — древнегреческому математику и философу Рассматривая квадратные плитки в зале дворца, он заметил, что если выстроить на гипотенузе прямоугольного треугольника квадрат, то по площади он совпадет с квадратами, которые строятся на его катетах, позднее он разработал доказательство. Легенда гласит, что философ отблагодарил богов за это достижение, принеся в жертву 100 быков.
Значение теоремы
В геометрии данная теорема дает возможность вычислить длину стороны прямоугольного треугольника при условии, что известны две другие, а также установить, относится ли данный треугольник к числу прямоугольных.
Практическое использование ее охватывает различные сферы:
- В строительстве, в архитектуре теорема помогает проверять прямые углы и рассчитывать диагонали.
- В области навигации ее используют, рассчитывая расстояния в GPS-системах, а также на картах, определяя кратчайший путь.
- В геодезии при съемке местности с ее помощью определяют углы, высоты и расстояния, когда производят съемку местности.
- В физике, инженерии она необходима для решения задач, связанных с векторными величинами, например, когда анализируются действующие на объекты силы.
- В электронике в процессе проектирования печатных плат с ее помощью рассчитывают наименьший путь соединения компонентов, чтобы потери сигнала были минимальными.
Основные понятия
Теорема Пифагора строится на следующих понятиях:
- Прямоугольный треугольник — треугольник, один из углов которого равен 90°, то есть является прямым.
- Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, которая располагается напротив прямого угла.
- Катеты — две стороны прямоугольного треугольника, между которыми образуется угол 90°.
Формулировка теоремы Пифагора
Теорема формулируется следующим образом:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Обозначив гипотенузу буквой с, а катеты как, а и b, теорему можно представить в виде следующей формулы:
Доказательство теоремы
Существует множество доказательств данной теоремы.
Геометрическое
- На гипотенузе строится квадрат со стороной с.
- Внутри данного квадрата строятся четыре прямоугольных треугольника с одинаковыми параметрами — с катетами, а и b.
- Располагаются они таким образом, что внутри возникает квадрат меньшей площади со стороной .
- Площадь первого квадрата (большого) составляет
- Площадь второго квадрата (меньшего, расположенного внутри) — .
- Следовательно,
Раскрытие скобок с последующим упрощением дает равенство
Алгебраическое
Одно из доказательств основывается на подобии треугольников:
- В треугольнике , вершина прямого угла в котором соответствует точке С, а стороны его составляют, а и b, из вершины С проводят сторону.
- Образуются два треугольника — и , подобные как друг другу, так и первоначальному треугольнику.
- Подобие их дает уравнения и .
- Следовательно, и .
- Сложение данных равенств дает .
С использованием косинуса угла
- В прямоугольном треугольнике АВС, в котором прямой угол соответствует точке С, из вершины прямого угла проводится высота.
- Согласно определению косинуса, .
- Следовательно, .
В результате сложения полученных равенств получается , что при раскрытии скобок и упрощении дает .
Это лишь некоторые из доказательств — всего их известно более четырех сотен.
Обратная теорема Пифагора
Обратная теорема Пифагора имеет такую формулировку: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.
Данное утверждение позволяет установить, принадлежит ли данный треугольник к числу прямоугольных, основываясь на соотношении между его сторонами.
Пифагоровы тройки
Пифагоровыми тройками именуются упорядоченные сочетания из трех натуральных чисел, соответствующие однородному квадратному уравнению, которое представляет собой формуле теоремы Пифагора. Числа составляющие такую тройку, называют пифагоровыми числами.
Например, (3,4,5):
.
.
Пифагоровы тройки подразделяются на примитивные и непримитивные. В первых все три числа взаимно просты, во вторых все три числа имеют общий простой делитель. Если каждое из чисел примитивной тройки умножить на одно и то же простое число, получится непримитивная тройка — так соотносятся, например, тройки (3,4,5) и (9,12,15).
В «Началах» Евклида приводится формула для нахождения пифагоровых троек. Нужно взять два взаимно простых числа m и n и произвести действия в таком порядке:
- ;
- ;
- .
Пифагоровы тройки в геометрии используются для нахождения гипотенузы и катетов, диагонали прямоугольника.
Автор
- Евгения ПоздняковаУчитель математики и физики. Закончила Курганский государственный педагогический университет, опыт преподавания — более трёх лет.