Умножение отрицательных чисел

21.06.2026 4 минуты

С отрицательными числами производятся все те же арифметические действия, что и с положительными, включая умножение, но при этом необходимо соблюдать особые правила.

История

Правила умножения отрицательных чисел не сразу стали очевидными, они складывались постепенно, и вклад в их формирование внесли несколько математиков, которые жили и работали в различных странах и в разные эпохи:

Древнекитайским математикам II века до нашей эры отрицательные числа уже были известны — их тогда называли «долгами» и уже умели производить вычитание и сложение с ними, но не умножение.
Первым, кто сформулировал правило, регламентирующее умножение отрицательных чисел, был древнегреческий математик Диофант Александрийский, и произошло это в III веке н. э. В его изложении правило выглядит следующим образом: «Отнимаемое, умноженное на прибавляемое, даёт в результате отнимаемое. Отнимаемое, умноженное на отнимаемое, даёт в результате прибавляемое».
Основные правила конкретизировал в VII веке индийский учёный Брахмагупта.
В XII в. другой индийский математик — Бхаскара — изложил эти правила в форме метафоры, сопоставляя положительные числа с «имуществом», а отрицательные — с «долгами»: произведение двух «долгов» даёт «имущество», таков же результат умножения двух «имуществ», а при перемножении «имущества» с «долгом» получается убыток.
В 1484 году в трактате французского математика Николя Шуке описывались действия с отрицательными числами, но его идеи не получили тогда признания — ещё долго европейские учёные считали отрицательные числа «абсурдными».
В первой половине XVII в. французский учёный Рене Декарт пытался дать правилу «минус на минус даёт плюс» геометрическое обоснование; его идеи развил во второй половине того же столетия английский математик Джон Валлис.
Следующий важный шаг был сделан в XVIII веке Леонардом Эйлером — математиком швейцарского происхождения, давшим этим правилам математическое обоснование: число, получаемое при умножении отрицательного числа на отрицательное, не должно связываться с суммой, но должно соответствовать определённому результату.
Окончательное алгебраическое обоснование данного правила дали в XIX веке два европейских математика — немец Герман Грассман и ирландец Уильям Гамильтон, создавшие полную теорию отрицательных чисел. Благодаря их трудам статус отрицательных чисел был в математике закреплён окончательно.

Поможем понять математику!

Запишитесь на бесплатную консультацию!

Записаться

Правила умножения

Основное правило, действующее при умножении отрицательных чисел, не отличается сложностью: минус на минус дает плюс, а минус на плюс — минус.

Умножение чисел с разными знаками

Умножая отрицательное число на положительное (или наоборот), необходимо перемножить их модули, перед ответом всегда ставится знак минус. Последовательность чисел — отрицательного и положительного — при этом не имеет значения:

a x (-b) = - (a x b)
(-a) x b = - (a x b)

Например:
–3 × 16 = –48
4 × (–92) = –184

Таким образом, при перемножении двух чисел с разными знаками результатом всегда является отрицательное число.

Умножение чисел с одинаковыми знаками

Когда перемножаются два числа с одинаковыми знаками, в результате всегда получается положительное число. На отрицательные числа данное правило тоже распространяет своё действие — иными словами, когда мы умножаем отрицательное число на отрицательное, результат будет положительным. При этом необходимо, как и в предыдущем случае, перемножить их модули, но минус при этом не ставится:

(-a) x (-b) = a x b

Например:
(–12) × (–11) = 132

Умножение нескольких чисел

Несколько более сложная ситуация возникает, когда количество множителей превышает два. В подобных случаях нужно подсчитать, сколько именно отрицательных чисел участвует в умножении, и определить, чётное это число или нечётное.

В первом случае отрицательные числа как бы образуют «пары», тем самым «уравновешивая» друг друга, и в результате получаются положительные числа, которые в итоге дают положительное число.
При нечётном же количестве отрицательных чисел одно из них «остаётся без пары», и при умножении его на положительные числа, образовавшиеся в результате действий с другими «парами», в итоге получится отрицательное число.

Это правило действует вне зависимости от того, участвуют ли в умножении только отрицательные числа или же положительные присутствуют наряду с ними — причём значение имеет именно количество отрицательных чисел:

5 x (-3) x (-2) = 30

(поскольку при умножении -3 на -2 получится 6 — положительное число, данное выражение можно представить как 5×6, то есть произведение двух положительных чисел).

5 x 3 x (-2) = -30
(-7) x (-3) x (-4) = -84
(-5) x (-2) x (-8) x (-4) = 320

Как запомнить и не запутаться

Запомнить правила чисел помогает простая жизненная ассоциация «друг — враг»: плюс — «друг», минус — «враг»:

Друг моего друга — мне друг (плюс на плюс даёт при умножении плюс).
Враг моего врага — мне друг (минус на минус даёт плюс).
Друг моего врага — мне враг (плюс на минус — минус).
Враг моего друга — мне враг (минус на плюс — минус).

В сущности, логика в данном случае проста: любые одинаковые знаки — плюс, разные — минус.

С репетитором — быстрее!

Осталось записаться на бесплатную консультацию

Записаться

Особые случаи

Особый случай представляет собой умножение на ноль — при этом результат всегда равен нулю вне зависимости от знака сомножителя, и к отрицательным числам это тоже относится: (-9) x 0 = 0.

При умножении на единицу результат всегда равен исходному числу, в том числе и для отрицательных чисел: (–52) × 1 = –52.

Автор

Евгения Позднякова

Учитель математики и физики. Закончила Курганский государственный педагогический университет, опыт преподавания — более трёх лет.