Введение в тригонометрию
Тригонометрией называется раздел математики, в котором изучается соотношение сторон треугольников и их углов (в первую очередь речь идет о прямоугольных треугольниках) и связанных с ними функций. Благодаря тригонометрии геометрические задачи могут быть переведены в область числовых вычислений. С помощью тригонометрии можно определить расстояние до таких объектов, которые физически недоступны, а также проанализировать периодические процессы — в частности, волны.
Потребность в тригонометрических вычислениях возникает во многих областях:
- в картографии и геодезии для составления карт, определения расстояния для ориентиров, межевания земель;
- архитектуре и строительстве для расчета прочности строений и углов наклона кровли, для проектирования зданий и мостов;
- навигации для определения положения судов — как морских, так и воздушных;
- электротехнике и физике для анализа звуковых волн, электромагнитных колебаний, радиосигналов;
- медицине для проектирования протезов, для анализа данных, полученных в ходе компьютерной томографии и УЗИ;
- астрономии для определения расстояния до космических объектов и их положения.
Основные определения
Все основные определения, используемые в тригонометрии, имеют отношение к прямоугольному треугольнику, точнее, к соотношению его сторон — гипотенузы и катетов. Применительно к острым углам (размер которых составляет менее 90°), они определяются через катеты и гипотенузу.
Синус
Синус острого угла — это отношение катета, лежащего напротив гипотенузы, к ее длине. Обозначается он как , формула синуса такова: = противолежащий катет / гипотенуза.
Значение синуса зависит исключительно от величины угла — размер треугольника можно уменьшать или увеличивать, синус останется прежним. Эта функция является нечетной, данное свойство выражается равенством . График синуса с геометрической точки зрения симметричен относительно нулевой точки координат. Область значений синуса для любого угла располагается между 1 и -1.
Косинус
Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике именуется отношение катета, прилежащего к данному углу, к гипотенузе. Обозначается он как и вычисляется по следующей формуле: = прилежащий катет / гипотенуза.
Смысл данной функции заключается в том, какая часть гипотенузы приходится на прилежащий к углу катет. Например, применительно к углу размером 0° катет совпадает с гипотенузой полностью, и косинус равен 1, а в угле 90° он ей перпендикулярен, то есть не совпадает совершенно — значит, косинус равен 0. Подобно синусу, область значений косинуса — от -1 до 1, но, в отличие от синуса, это четная функция: .
Тангенс
Тангенс — функция, показывающая отношение катета, противолежащего углу, к прилежащему, а также отношение синуса угла к его косинусу. Имеются два варианта обозначения — (в отечественной практике) и (международное, используется — в частности — в калькуляторах). Формула такова:
= противолежащий катет / прилежащий катет =
Тангенс демонстрирует, во сколько раз противолежащий катет длиннее прилежащего. Область его значений охватывает всю числовую прямую, включая и положительные, и отрицательные числа. Область определений – все действительные числа – исключения составляют лишь те точки, в которых косинус равняется нулю (так как невозможно деление на ноль) – это касается углов 90° и 270°. Эта функция периодична (повторяется через каждые 180°) и нечетна (график ее симметричен относительно нулевой точки координат).
Котангенс
Котангенс демонстрирует отношение косинуса угла к его синусу; применительно к прямоугольному треугольнику это равняется отношению катета, прилежащего к углу, к катету, противолежащему ему. Обозначается котангенс как и рассчитывается по следующей формуле:
= прилежащий катет / противолежащий катет =
Подобно тангенсу, областью его значений является числовая ось в полной мере, а областью определений — все действительные числа, исключая , где ** является целым числом. Это нечетная функция: .
Тригонометрическая окружность
Определения, о которых шла речь, относятся к острым углам. Вычислить функции для произвольных углов позволяет единичная (тригонометрическая) окружность — то есть окружность, центр которой расположен в начале системы координат, а радиус составляет единицу. От положительного направления оси Х отсчитываются углы: по часовой стрелке для отрицательного направления, против — для положительного.
С помощью единичной окружности можно определить функции любого угла через координаты точки:
- синус — ордината на тригонометрической окружности;
- косинус — абсцисса на ней;
- тангенс — отношение синуса к косинусу;
- котангенс — отношение косинуса к синусу.
Единицы измерения углов
Углы измеряются с помощью разных единиц.
- В градусной мере единицей является градус — угол, равный 1/360 окружности или 1/180 развернутого угла.
- Радиан — центральный угол, который соответствует дуге окружности, длина которой равна ее радиусу. Радианная мера представляет собой соотношение дуги окружности между сторонами угла с ее радиусом, причем центр окружности находится в вершине угла.
Основные тригонометрические тождества
К тригонометрическим тождествам относятся равенства, устанавливающие связи между функциями одного угла.
Основное тождество таково:
Из него выводятся другие:
Знак зависит от координатной четверти, где располагается угол.
При почленном делении обеих частей основного тождества на образуется другое тождество:
При делении на получаем:
Произведение котангенса и тангенса для любого угла равняется 1:
Автор
- Евгения ПоздняковаУчитель математики и физики. Закончила Курганский государственный педагогический университет, опыт преподавания — более трёх лет.