Взаимно обратные числа
Некоторые свойства чисел, имеющие значение с математической точки зрения, проистекают из их соотношения в арифметических действиях, в частности это касается умножения. Примером подобной категории является такое понятие, как взаимно обратные числа.
Что такое взаимно обратные числа
Взаимно обратными называются числа, при перемножении которых результат будет равен единице. Иными словами, если умножить одно из этих чисел на другое, в результате получится 1.
Такое соотношение чисел выражается следующей формулой:
a x 1/a = 1
a x 1/a = 1
В данной формуле a — это исходное число, 1/a — обратное ему (причём число *a* не должно быть равно нулю).
Проще всего уяснить понятие взаимно обратных чисел на примере обыкновенных дробей. Например, 3 и 1/3 — это взаимно обратные числа, поскольку их перемножение в результате даёт именно единицу. Более сложная ситуация возникает, когда речь идёт о смешанных числах — то есть о таких, которые наряду с дробной частью содержат целую.
Как найти число, обратное данному
Как именно найти число, обратное исходному, зависит от того, о каком числе идёт речь:
- Проще всего найти обратное число для обыкновенной дроби — её нужно попросту «перевернуть», то есть поменять местами знаменатель и числитель.
- Например, для дроби 5/6 обратным числом будет 6/5; для 11/13 — 13/11.
- Десятичную дробь предварительно переводят в обыкновенную, затем поступают аналогичным образом.
- Например, 0,7 — это 7/10, обратное число — 10/7.
- Целое число представляют в виде обыкновенной дроби с единицей в знаменателе и поступают так же, как с любой другой обыкновенной дробью.
- Например, 37 интерпретируется как 37/1, следовательно, обратное число — 1/37.
- Более сложная ситуация возникает, когда речь идёт о смешанных числах, то есть о таких, которые наряду с дробной частью содержат целую. В этом случае смешанное число нужно предварительно перевести в неправильную дробь, над которой затем совершается аналогичная операция.
- Например, 5 1/3 = 16/3, обратное число — 3/16.
Например:
1/7 и 7: 1/7×7 = 1 → это взаимно обратные числа.
2/5 и 3: 2/5×3 = 6/5 → результат отличен от единицы, следовательно, числа 2/5 и 3 не являются взаимно обратными.
1/7 и 7: 1/7×7 = 1 → это взаимно обратные числа.
2/5 и 3: 2/5×3 = 6/5 → результат отличен от единицы, следовательно, числа 2/5 и 3 не являются взаимно обратными.
Исключения и свойства
Наряду с произведением, равным 1, выделяются и другие свойства взаимно обратных чисел:
- Симметричность — если число *a* обратно числу *b*, то число *b* обратно числу *a*.
- Одно из положительных взаимно обратных чисел всегда больше 1, а другое — меньше (то есть представляет собой правильную дробь).
- Произведение двух отрицательных взаимно обратных чисел является положительным, поскольку при умножении минус на минус даёт плюс.
- Сумма двух положительных взаимно обратных чисел всегда не менее двух.
- Разделить одно число на другое — то же самое, что умножить его на число, взаимно обратное делителю.
- Например, 6: 2 = 6×½.
- Обратным к обратному числу является исходное, то есть если найти обратное число к данному, а затем — обратное к полученному, в итоге выйдет первоначальное число.
Для любого числа — как положительного, так и отрицательного — имеется обратное. Исключение составляет только ноль, ведь при умножении его на любое число получается ноль, единица получиться не может — следовательно, и обратного числа для нуля нет.
Существует единственное число, обратное самому себе — это единица, поскольку получить единицу можно исключительно путём умножения её на саму себя.
Автор
- Евгения ПоздняковаУчитель математики и физики. Закончила Курганский государственный педагогический университет, опыт преподавания — более трёх лет.