Десятичные дроби
Дробью называется число, представляющее собой часть целого. Дроби подразделяются на обыкновенные и десятичные. Первые состоят из двух чисел — знаменателя, расположенного снизу и обозначающего, на сколько частей целое разделено, и числителя, который находится сверху и показывает количество частей, например, ½, 5/8, ¾. Десятичная же дробь представляет собой результат преобразования обыкновенной, где знаменатель всегда представляет собой число десять в какой-либо степени (10, 100, 1000 и т. д.).
Как читать и записывать десятичные дроби
Записывается дробь такого типа в строчку с запятой, отделяющей целую часть от дробной, причем количество знаков после нее должно быть равно числу нулей в знаменателе, например, в 100 два нуля, и в дроби обыкновенной 0,04 (четыре сотых) за запятой следуют два знака.
Читая десятичную дробь, сначала называют ее целую часть (до замятой) со словом «целых», даже если она равна нулю — в таком случае говорится «ноль целых», затем прочитывается дробная часть, включая обозначение разряда (то, что соответствует знаменателю — в зависимости от количества знаков, следующих за запятой):
- 0,2 — ноль целых две десятых;
- 1,05 — одна целая пять сотых;
- 0,009 — ноль целых девять тысячных.
Одно из главных свойств такой дроби заключается в том, что ее величина останется прежней, если добавлять справа любое количество нулей, например,
3,5 = 3,500 = 3,5000.
Виды
Различают два вида десятичных дробей — конечные и бесконечные. У конечных дробей количество знаков, следующих за запятой ограничено:
- 1,2;
- 0,03;
- 0,07.
0,8 – 8/10, 0,006 – 6/1000.
У бесконечных дробей число знаков, следующих за запятой, бесконечно. Образуются они путем перевода в десятичные обыкновенные дроби, в знаменателях которых присутствуют простые числа, отличные от 5 и 2. При делении числителя на подобный знаменатель раз за разом образуется один и тот же остаток, например, обыкновенная дробь 1/3 дает бесконечную дробь 0,3333… Для удобства записи бесконечные дроби округляют до трех знаков, следующих за запятой (то есть до тысячных) и ставят многоточие.
Дроби бесконечные подразделяются на периодические и непериодические. У первых после запятой следует бесконечное повторение одной цифры или группы таковых — эта повторяющаяся часть называется периодом дроби. Например, у дроби 0,333… период 3, а у 76,134 134 134 134… — 134, причем не обязательно период охватывает всю дробную часть, например, у дроби 0,944… период 4. Для краткости период при записи заключается в скобки — 0,(3), 76,(134), 0,9(4).
Непериодические дроби повторяющихся цифр или их групп не содержат. Некоторые дроби такого типа напоминают периодические, но подробный анализ выявляет отсутствие периода. Непериодические дроби не подлежат переводу в обыкновенные, они являются иррациональными числами.
Сравнение
Правила сравнения десятичных дробей:
- Если количество знаков, следующих за запятой, различно, его уравнивают, дописывая нули.
- Сравниваются целые части — дробь с большей целой частью больше.
- При равенстве целых частей сравнивают дробные.
- Сравнение нужно делать по разрядам, пока не будет найдено первое различие, на основании которого делается вывод.
1,02 > 1,007.
Складываем и вычитаем дроби
Десятичные дроби складывают и вычитают в столбик:
- Количество знаков, следующих за запятой, уравнивается путем добавления нулей.
- Дроби записывают друг на другом (при сложении порядок не имеет значения, при вычитании – уменьшаемое над вычитаемым) таким образом, чтобы запятые их совпадали.
- Сложение или вычитание выполняют, не принимая запятую во внимание.
- В ответе запятую ставят под запятой в исходных числах.
Пример 1:
1,28 + 2,32 = 3,60
1,28 + 2,32 = 3,60
Пример 2:
0,5 — 0,01 = 0,50 — 0,01
0,50 — 0,01 = 0,49
0,5 — 0,01 = 0,50 — 0,01
0,50 — 0,01 = 0,49
Правила умножения и деления
Процесс умножения десятичных дробей зависит от того, на что их умножают:
- Умножая десятичную дробь на целое число сначала производят умножение без запятой, а затем ставят ее там, где она была в дроби (3×0,9 = 2,7).
- Умножая на 0,1, 0,01, 0,001, нужно перенести запятую влево на такое количество знаков, сколько в множителе нулей перед 1, при необходимости дописывая нули (1,2×0,01 = 0,12, 0,5×0,01 = 0,005).
- При умножении десятичной дроби на 10, 100 или 1000 запятую переносят вправо на определенное число знаков соответственно количеству нулей в делителе, при необходимости нули дописывают (0,8×10 = 8, 0,2×100 = 20).
- В других случаях умножение выполняют без учета запятой (в строчку или столбик), затем считают общее число знаков в дробных частях обеих дробей, и в ответе отделяют запятой такое же количество слева (если на конце ноль, его убирают): 0,5×0,8 = 0,4.
- При делении дроби на целое число делят в столбик, как обычно, ставя запятую, когда в делимом заканчивается целая часть (18,4: 2 = 9,2)
- При делении одной дроби на другую делитель превращают в целое число, умножая на 10, 100 либо 1000, на такое же число умножают делимое (оно при этом может остаться дробью) и делят по правилу, приведенному выше (0,24: 0,6 = 2,4: 6 = 0,4).
- Если делитель больше целой части делимого, в целой части ответа ставится 0 (1,5: 3 = 0,5).
Правила округления
Десятичные дроби можно округлить:
- определить, до какого-либо разряда производится округление — до десятых, сотых и т. п.;
- если цифра, следующая за этим разрядом, больше 5 прибавляют 1 к округляемому разряду;
- если она меньше 5, округляемый разряд остается неизменным.
Правила преобразования
Все десятичные дроби преобразовываются в обыкновенные:
- Дробная часть записывается в числителе.
- В знаменателе ставится число, кратное десяти, с количеством нулей, соответствующим числу знаков в дробной части.
- По возможности дробь сокращают.
- При наличии целой части ее записывают перед дробью, как всегда у обыкновенных дробей.
0,5 = 5/10 = 1/2;
1,9 = 19/10.
Для перевода десятичных дробей в обыкновенные делим в столбик числитель на знаменатель:
2/100 = 0,02
Не все обыкновенные дроби можно перевести в десятичные — это осуществимо лишь с теми дробями, чей знаменатель можно разложить на простые множители 5 и 2. Например, у дроби 11/40 знаменатель можно представить как 2×2×2×5, следовательно, ее можно перевести в десятичную, а у дроби 7/60 произведение наряду с 5 и 2 будет содержать 3, следовательно, перевод в десятичную дробь невозможен.
Автор
- Евгения ПоздняковаУчитель математики и физики. Закончила Курганский государственный педагогический университет, опыт преподавания — более трёх лет.