Положительные и отрицательные числа
В математике числа подразделяются на отрицательные и положительные — это разделение заключается в описании значений по отношению к определенной точке (нулевой):
- первые — это все, что меньше ноля (меньше, чем «ничто») — < 0;
- вторые — это все, что больше ноля (больше, чем «ничто») — > 0;
- между ними располагается ноль — 0, играя роль своеобразной границы и точки отсчета. Таким образом, ноль — это единственное число, которое ни положительным, ни отрицательным являться не может.
Где в жизни встречаются отрицательные числа
С положительными числами дети знакомятся еще до школы, например, самое простое пересчитывание предметов — это уже пример использования таковых. Отрицательные числа представить сложнее — они более абстрактны и не имеют такого конкретного выражения, как положительные. И все же на практике — в том числе и в повседневности — отрицательные числа встречаются:
- температура воздуха ниже нуля (в наиболее распространенной в нашей стране шкале Цельсия — холоднее точки замерзания воды);
- отрицательный баланс на счете телефона или карте банка — это означает, что владелец потратил больше денег, чем у него было, и у него теперь не просто нет денег, а образовался долг («меньше, чем ничто»: если внести определенную сумму, на счете будет ноль);
- обозначение высот, расположенных ниже уровня моря, который в географии играет роль точки отсчета (то есть нуля с математической точки зрения) — таков, например, уровень Мертвого моря.
В экономике в виде отрицательных чисел представляются такие показатели, как падение ВВП того или иного государства, сокращение объемов производства.
Модуль числа
Учитывая, что положительные числа больше нуля, а отрицательные — меньше его, любое положительное число всегда больше любого отрицательного. Но есть и абсолютная величина чисел, рассматриваемая без учета его знака (плюса или минуса) — она называется модулем. Это абсолютное значение числа — фактически модуль показывает расстояние на числовой прямой от нуля (точки отсчета) до данного числа. На письме модуль обозначается с помощью вертикальных линий по обеим сторонам от числа:
- |4| = 4;
- |-5| = 5.
Свойства модуля таковы:
- Модуль произведения двух чисел равняется произведению их модулей (например, 6×2 = 12, -6×2 = -12 — модуль в обоих случаях 12).
- Модуль частного двух чисел равняется частному их модулей (14: 7 = 2, -14: 7 = -2 — модуль в обоих случаях 2).
- Модуль суммы двух чисел не может превышать сумму их модулей: |a + b| ≤ |a| + |b|.
Сравнения чисел
Для сравнения положительных и отрицательных чисел используется правило координатной прямой. Заключается оно в том, что из двух чисел больше то, которое на числовой оси располагается правее. Из этого вытекают следующие правила:
- Любое отрицательное число меньше любого положительного.
- Любое положительное число больше нуля, а отрицательное — меньше его.
- Из двух положительных чисел больше то, у которого больше модуль, а из двух отрицательных — то, у которого модуль меньше.
Например:
- 2 > -5,
- 3 > 0,
- -10 < 0,
- 12 < 15,
- -9 < -7.
Арифметика с положительными и отрицательными числами
Принадлежность чисел к отрицательным либо положительным необходимо учитывать при выполнении арифметических действий:
Сложение
- При сложении двух положительных всегда получается положительное, двух отрицательных — отрицательное. Во втором случае складывают модули, вынося знак за скобки: -20 + (-15) = -(20 + 15) = -35.
- При сложении положительного числа с отрицательным имеет значение, у какого из них модуль больше. Знак этого числа выносится за скобки, а из большего модуля вычитается меньший:
- -27 + 15 = -(27 — 15) = -12;
- 40 + (-60) = -(60 — 40) = -20.
Вычитание
- При вычитании положительных чисел имеет значение соотношение их модулей. Если модуль уменьшаемого больше, чем у вычитаемого, то в результате получается положительное (5 — 3 = 2), а наоборот — отрицательное, при этом модули меняются местами: 3 — 5 = -(5 — 3) = -2.
- Вычитая числа отрицательные, тоже нужно учитывать соотношение модулей, а вычитание заменяется сложением:
- -30 — (-45) = -30 + 45 = 15;
- 70 — (-45) — в этом примере ошибка, правильный ход: 70 — (-45) = 70 + 45 = 115 (при сложении двух положительных чисел знак положительный).
- Вычитая из числа положительного отрицательное, следует применить правило «минус на минус дает плюс», а знак ответа тоже зависит от большего модуля:
- 21 — (-3) = 21 + 3 = 24;
- 5 — (-15) = 5 + 15 = 20 (оба числа положительные, ответ положительный).
- Вычитание положительного числа из отрицательного приравнивается к сложению отрицательных чисел: -5 — 3 = -8.
Умножение и деление
В процессе умножения и деления положительных и отрицательных чисел соответствующие действия производятся над их модулями. Если знаки множителей либо делимого и делителя совпадают, результат положительный, если различаются — отрицательный:
- 2 x 5 = 10
- 2 x (-5) = -10
- -2 x (-5) = 10 (в исходном примере была опечатка)
- 42: 6 = 7
- -42: 6 = -7
- 42: (-6) = -7
- -42: (-6) = 7
Как использовать знания об отрицательных и положительных числах
Действия с положительными и отрицательными числами нередко производятся на практике.
- Высота горы Эверест составляет 8848 м, а глубина Марианской впадины — -11 022 м. Какова разница между этими точками?
- 8848 — (-11 022) = 8848 + 11 022 = 19 870 м
- Баланс телефона составляет -20 рублей. Сколько нужно внести на счет, чтобы баланс был 200 рублей?
- 200 — (-20) = 200 + 20 = 220 рублей
- Вчера температура воздуха была +5°С, а сегодня — -3°С. Насколько похолодало?
- 5 — (-3) = 5 + 3 = 8°С
Автор
- Евгения ПоздняковаУчитель математики и физики. Закончила Курганский государственный педагогический университет, опыт преподавания — более трёх лет.