Что такое факториал в математике

13.08.2026 5 минут

Факториал числа представляет собой математическую функцию, визуально обозначающуюся восклицательным знаком после числа (например, n!). То есть, если n — натуральное число, то его факториал — это произведение натуральных чисел от 1 до n включительно. Само название «факториал» происходит от латинского слова «factorialis». Оно означает «действующий», «производящий».

Формула факториала выглядит так:

n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 2 × 1

Пример:

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Помогаем понять математику и решать задачи самостоятельно

Онлайн-занятия для детей 6-17 лет

Записаться на первый урок

Функции факториала

Основной функционал:

определение только для положительных целых чисел. Иными словами, у отрицательных или дробных чисел нет факториала. Что касается нуля, то его факториал равен единице, и выглядит это так — 0! = 1. Это необходимо для универсальной и корректной работы многих математических формул. Например, в комбинаторике количество перестановок пустого множества принимают за 1;
рекуррентность. Есть возможность выразить факториал числа *n* через факториал предыдущего числа: n! = n x (n − 1)!. Это позволяет быстро вычислять и строить алгоритмы (что очень актуально для программирования). Базовый случай рекурсии — 0! = 1;
быстрый рост. Например: 5! = 120, 10! = 3 628 800, 20! ≈ 2,43×10¹⁸. Из-за этого при работе с большими *n* в вычислениях легко возникает переполнение;
четность. Для любого n > 1 факториал будет только четным числом. Это происходит за счет того, что при произведении n! = n x (n − 1) x … x 2 x 1 обязательно присутствует множитель 2;
комбинаторная интерпретация. Факториал напрямую связан с подсчетом количества перестановок множества. Например, 3! = 6 — это число способов расстановки трех разных книг на полке;
асимптотическое поведение. Факториал растет быстрее, чем любая функция. Для того чтобы вычислить факториал больших чисел, используют формулу Стирлинга: n! ≈ √(2πn) x (n/e)ⁿ;
связь с гамма-функцией. В математическом анализе факториал обобщается на дробные и комплексные числа с помощью гамма-функции. Это выглядит так — n! = Γ(n + 1).

Эти свойства делают факториал мощным инструментом в разных областях. Он применяется и в комбинаторике, и в математическом анализе, и в теории вероятностей.

Как вычислить факториал

Одно из ключевых свойств факториала – рекуррентная формула:

n! = n x (n − 1)!

Это означает, что каждый следующий факториал получается вследствие умножения предыдущего на следующее натуральное число. Эта формула позволяет вычислить n! через факториал меньшего числа.

Примеры вычисления:

1! = 1 × 0! = 1 × 1 = 1

2! = 2 × 1! = 2 × 1 = 2

3! = 3 × 2! = 3 × 2 = 6

4! = 4 × 3! = 4 × 6 = 24

Где применяется факториал

В первую очередь, конечно, в комбинаторике. Факториал позволяет считать количество способов для упорядочения или выбора элементов. Например:

перестановка предметов. То есть, сколько способов расставить определенное количество объектов в заданном порядке;
сочетания. Тут используется формула C (n, k) = n! / (k! x (n−k)!);
размещение. Через факториал можно выбрать определенное количество *k* элементов из *n* с учетом порядка.

Факториал применяется в теории вероятностей и статистике. Он встречается в формулах, вычисляющих вероятность сложных событий. Например, в распределении Пуассона, где речь идет о моделировании числа событий за фиксированный временной промежуток. Или в биномиальном распределении (через сочетания с факториалами).

С репетитором — быстрее!

Осталось записаться на бесплатную консультацию

Записаться

Другие области применения:

информатика. Тут всё понятно — составление алгоритмов никак не обходится без факториалов. Некоторые алгоритмы перебирают вообще все перестановки, следовательно, факториальное время выполнения очень медленное. Факториалы встречаются в задачах, связанных с оптимизацией, поиском или сортировкой: там требуется учитывать любые возможные варианты;
математический анализ. Факториал встречается в ряде Тейлора, где играет главную роль — нормализующего множителя;
криптография. Факториалы используются для построения сложных комбинаторных вычислений. Благодаря этому значительно усиливается защита данных;
биоинформатика. При помощи факториала можно проводить анализ перестановки в ДНК и РНК, а также оценивать комбинации при множественных сравнениях и изучать структуры;
химия и физика. Факториалы позволяют учесть перестановку частиц, используются при подсчете числа изомеров и так далее.

Наконец, факториал применяется и в гуманитарных науках, в частности, в лингвистике. С его помощью можно проанализировать перестановку слов в тексте, смоделировать вероятностный процесс, когда требуется языковая обработка данных.