Как решать задачи на нахождение процента
Процент — это одна сотая часть числа или величины. Проценты очень удобно применять на практике, поскольку они существенно упрощают любые математические расчеты. С помощью процентов легко сравнивать как части, так и целые числа.
Применение процентов в повседневной жизни
Конечно, первое, что хочется выделить — это вклады, накопительные счета и другие банковские финансовые продукты. В этой сфере процент — это, по сути, базис. Именно на процентную ставку обращают внимание, когда надо открыть депозит, оформить кредит и так далее, поскольку она напрямую влияет на итоговую сумму и, следовательно, переплату. Также проценты играют важную роль в сфере налогов и финансов. В частности, подоходный налог (13% от зарплаты физического лица), НДС и многое другое.
Другие отрасли:
- магазин. В процентах указывается всё — и акции, и сезонные ценовые изменения, и скидки, и многое другое. Важно уметь подсчитать общую сумму, например, если скидка на коллекцию составляет 20%;
- быт и кулинария. Практически каждый рецепт состоит из процентов: например, концентрация уксуса, процент жирности молока и содержания белка;
- статистика и новости. Это информация, например, о результатах выборов, о росте цен (процент инфляции), о заболеваниях (сколько людей заболело и выздоровело за неделю). Всё это всегда выражается в процентах;
- медицина. В процентах рассчитывается дозировка лекарства, а также интерпретируются медицинские показатели (холестерин, гемоглобин и так далее);
- производство. Например, процентное содержание тех или иных веществ в растворах, смесях, сплавах.
Также проценты обязательно встречаются в учебе. Например, проверка студенческой работы на антиплагиат, анализ результатов проведенного тестирования, оценка знаний и многое другое.
Почему важно уметь работать с процентами
Во-первых, это финансовая грамотность. То есть если человек умеет правильно считать проценты, он легко сможет планировать бюджет, распределять средства, выбирать только выгодные для себя финансовые продукты.
Во-вторых, знание процентов формирует критическое мышление. Например, не поддаваться на сомнительные рекламные предложения, где реальная скидка, как правило, сильно завышена.
В-третьих, знание процентов нужно не только специалистам (экономистам, бухгалтерам, финансовым аналитикам). Это вообще весьма широкая сфера, в которой должен хотя бы на базовом уровне ориентироваться любой человек. Это практический инструмент, позволяющий принимать правильные финансовые решения.
Как решить задачу на проценты
Сначала необходимо понять, что именно в ней надо найти — число по проценту, процент от числа или процентное соотношение двух чисел. В зависимости от этого выбирается способ решения и необходимая для него формула.
Общий алгоритм решения
Это делается так:
- Внимательно прочитать задачу и определить, что в ней известно.
- Установить тип задачи (процент от числа, число по проценту или процентное соотношение двух чисел).
- Выбрать способ решения. Это можно сделать по формуле, через пропорцию (универсальный метод), через нахождение 1% или с использованием числовых соотношений.
- Выполнить необходимые вычисления и проверить полученный ответ.
Типы задач на проценты
Тип 1 — нахождение процента от числа. Вопрос тут ставится так: чему равна доля от заданного числа. Основное правило решения — надо проценты перевести в десятичную дробь (то есть разделить на 100) и умножить полученное число на эту же дробь.
Пример: Книга стоит 650 рублей. Скидка составляет 20%. Сколько рублей составит скидка?
Решение: 650 x (20: 100) = 650×0,2 = 130.
Соответственно, скидка составляет 130 рублей.
Решение: 650 x (20: 100) = 650×0,2 = 130.
Соответственно, скидка составляет 130 рублей.
Тип 2 — нахождение числа по его проценту. Нужно найти число. Дано: определенное количество процентов от него равно конкретной величине. Чтобы решить такую задачу, нужно эту известную процентную часть разделить на десятичную дробь (она получается при переводе процентов). Потом найти, сколько приходится на 1%, и умножить на 100. В завершении составить пропорцию: «часть числа: десятичная дробь = 100%: Х».
Пример: За день учитель проверил 42 тетради, что составляет 14% от месячной нормы. Какова месячная норма?
Решение: 42: (14: 100) = 42: 0,14 = 300.
Итого — 300 тетрадей за месяц.
Решение: 42: (14: 100) = 42: 0,14 = 300.
Итого — 300 тетрадей за месяц.
Тип 3 — нахождение процентного отношения двух чисел. Чтобы найти такое соотношение, нужно первое число разделить на второе (часть на целое), а полученный результат умножить на 100%.
Пример: В офисе работает 30 сотрудников, 14 из них — женщины. Сколько процентов женщин в рабочем коллективе?
Решение: (14: 30) x 100% ≈ 46,67%.
Решение: (14: 30) x 100% ≈ 46,67%.
Более сложные задачи
К ним можно отнести увеличение и уменьшение числа на p%.
Увеличение числа на p% делается так:
Используется формула a x (1 + p/100).
Пример: сыр стоил 200 рублей. С понедельника цену повысили на 15%. Сколько составляет новая цена?
Решение: 200 x (1 + 15/100) = 200×1,15 = 230.
Соответственно, новая цена на сыр составляет 230 рублей.
Решение: 200 x (1 + 15/100) = 200×1,15 = 230.
Соответственно, новая цена на сыр составляет 230 рублей.
Уменьшение числа на p% делается аналогичным образом, только тут другой знак — a x (1 − p/100).
Пример: платье стоило 4000 рублей. Во время сезонной распродажи цену снизили на 30%. Какая новая цена?
Вычисляется она следующим образом: 4000 x (1 − 30/100) = 4000×0,7 = 2800.
Следовательно, во время распродажи платье стоит 2800 рублей.
Вычисляется она следующим образом: 4000 x (1 − 30/100) = 4000×0,7 = 2800.
Следовательно, во время распродажи платье стоит 2800 рублей.
Простые проценты
Основная суть заключается в том, что они начисляются только на исходную сумму, а не по принципу «проценты на проценты». Формула тут такая — I = P x r x t, где P — начальная сумма, r — годовая процентная ставка (в десятичной дроби), t — время в годах.
Пример задачи: семья положила в банк 10 000 рублей под 5% годовых простых процентов. Сколько процентов они получат за 3 года?
Решение: I = 10 000×0,05×3 = 1500 рублей.
То есть за 3 года вкладчики получат 1500 рублей.
То есть за 3 года вкладчики получат 1500 рублей.
Сложные проценты
Тут проценты начисляются не только на исходную сумму, но и на те проценты, которые были начислены в предыдущие процентные периоды. Иначе говоря, это капитализация, то есть проценты на проценты дают дополнительный доход.
Формула:
Итоговая сумма (A):
A = P × (1 + r/n)^(n × t),
A = P × (1 + r/n)^(n × t),
где P — начальная сумма,
r — годовая процентная ставка,
n — количество начислений процентов в год,
t — время.
r — годовая процентная ставка,
n — количество начислений процентов в год,
t — время.
Пример: клиент вложил 10 000 рублей под 5% годовых сложных процентов. Начисление происходит ежемесячно (n = 12), срок составляет 3 года. Сколько денег будет на счете через 3 года?
Решение: A = 10 000 x (1 + 0,05/12)^(12×3) ≈ 10 000×1,1616 ≈ 11 616.
То есть через 3 года на счете будет примерно 11 616 рублей.
Если в задаче на проценты есть слово «капитализация», то здесь однозначно речь идет о сложных процентах.
Евгения Позднякова
Учитель математики и физики. Закончила Курганский государственный педагогический университет, опыт преподавания — более трёх лет.
Как вам статья?
Похожие статьи
